Question

16．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E，连接ED，过点E作ED的高，交射线AB于点P，交射线CB于点F．
（1）求证：△ADE∽△AEP；
（2）设OA=x，AP=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的自变量的取值范围．

Answer 1

分析 （1）证△ADE∽△AEP，需找出两组对应相等的角．连接OD，根据切线的性质，可得出∠ODA=90°，而∠ODE=∠OED，因此∠ADE和∠AEP都是90°加上一个等角，因此∠AEP=∠ADE；再加上两三角形的公共角∠A，即可证得两三角形相似；
（2）由△AOD∽△ACB，可得OD=$\frac{3}{5}$OA，AD=$\frac{4}{5}$OA；又由△ADE∽△AEP，可得y=$\frac{16}{5}$x；

解答 （1）证明：连接OD，
∵AP切半圆于D，∠ODA=∠PED=90°，
又∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠ADE=∠ODE+∠ODA，
∠AEP=∠OED+∠PED，
∴∠ADE=∠AEP，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△AEP；

（2）解：∵△AOD∽△ACB，
∴$\frac{OA}{CA}$=$\frac{OD}{CB}$=$\frac{AD}{AB}$，
∵AB=4，BC=3，∠ABC=90°，
∴根据勾股定理，得AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∴OD=$\frac{3}{5}$OA，AD=$\frac{4}{5}$OA，
∵△ADE∽△AEP，
∴$\frac{AE}{AP}$=$\frac{AD}{AE}$=$\frac{DE}{EP}$，
∵AP=y，OA=x，AE=OE+OA=OD+OA=$\frac{8}{5}$OA，
∴$\frac{AE}{AP}$=$\frac{AD}{AE}$=$\frac{\frac{4}{5}OA}{\frac{8}{5}OA}$=$\frac{1}{2}$，
则y=$\frac{16}{5}$x（0＜x≤$\frac{25}{8}$）；

点评 本题考查了相似三角形的性质，圆的切线性质、勾股定理、一次函数的应用，以及分类讨论的数学思想，其中由相似三角形的性质得出比例式是解题关键．