Question

已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD，E、F分别是AB、CD的中点，EF分别交BD、AC于点G、H．求证：OG=OH．

Answer 1

分析：取BC边的中点M，连接EM，FM，则根据三角形的中位线定理，即可证得△EMF是等腰三角形，根据等边对等角，即可证得∠MEF=∠MFE，然后根据平行线的性质证得∠OGH=∠OHG，根据等角对等边即可证得．

解答：解：取BC边的中点M，连接EM，FM，
∵M、F分别是BC、CD的中点，
∴MF∥BD，MF=

1

2

BD，
同理：ME∥AC，ME=

1

2

AC，
∵AC=BD
∴ME=MF
∴∠MEF=∠MFE，
∵MF∥BD，
∴∠MFE=∠OGH，
同理，∠MEF=∠OHG，
∴∠OGH=∠OHG
∴OG=OH．

点评：本题考查了三角形的中位线定理，正确证明△EMF是等腰三角形是关键．