Question

某学校的校门是伸缩门（如图1），伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30厘米．校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60°（如图2）；校门打开时，每个菱形的锐角度数从60°缩小为10°（如图3）．问：校门打开了多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin5°≈0.0872，cos5°≈0.9962，sin10°≈0.1736，cos10°≈0.9848）．

Answer 1

解：如图，校门关闭时，取其中一个菱形ABCD．
根据题意，得∠BAD=60°，AB=0.3米．
∵在菱形ABCD中，AB=AD，
∴△BAD是等边三角形，
∴BD=AB=0.3米，
∴大门的宽是：0.3×20≈6（米）；
校门打开时，取其中一个菱形A₁B₁C₁D₁．
根据题意，得∠B₁A₁D₁=10°，A₁B₁=0.3米．
∵在菱形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，∠B₁A₁O₁=5°，
∴在Rt△A₁B₁O₁中，
B₁O₁=sin∠B₁A₁O₁•A₁B₁=sin5°×0.3=0.02616（米），
∴B₁D₁=2B₁O₁=0.05232米，
∴伸缩门的宽是：0.05232×20=1.0464米；
∴校门打开的宽度为：6-1.0464=4.9536≈5（米）．
故校门打开了5米．
分析：先求出校门关闭时，20个菱形的宽即大门的宽；再求出校门打开时，20个菱形的宽即伸缩门的宽；然后将它们相减即可．
点评：本题考查了菱形的性质，解直角三角形的应用，难度适中．解题的关键是把实际问题转化为数学问题，只要把实际问题抽象到解直角三角形中，一切将迎刃而解．