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9.如图1,四边形ABCD是正方形,△ADE经旋转后与△ABF重合.

(1)旋转中心是点A;
(2)旋转角是90度; 
(3)如果连接EF,那么△AEF是等腰直角 三角形.
(4)用上述思想或其他方法证明:如图2,在正方形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,且∠EAF=45°.
求证:EF=BE+DF.

分析 (1)根据图形旋转的概念可得,旋转中心是点A;
(2)根据图形旋转的概念可得,对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;
(3)根据等腰直角三角形的判定方法进行判断即可;
(4)运用旋转变换,将△ABE绕A点逆时针旋转900,得到△ADE′,再判定△EAF≌△E′AF(SAS),进而得到EF=E′F,再根据E′F=DF+DE′,E′D=BE,得出EF=BE+DF.

解答 解:(1)由图1可得,旋转中心是点A,
故答案为:点A;

(2)由图1可得,旋转角=∠DAB=90°,
故答案为:90;

(3)根据∠EAF=∠DAB=90°,AE=AF可得,△AEF是等腰直角三角形;
故答案为:等腰直角;

(4)如图所示,将△ABE绕A点逆时针旋转90°,得到△ADE′,
因为∠EAF=45°,
所以∠BAE+∠DAF=45°,
因为∠BAE=∠DAE′,
所以∠FAE′=45°,
所以∠FAE′=∠FAE,
因为∠ADE′=∠ADF=90°,
所以E'、D、F三点共线,
又因为AF=AF,AE=AE′,
所以△EAF≌△E′AF(SAS),
所以EF=E′F,
因为E′F=DF+DE′,E′D=BE,
所以EF=BE+DF.

点评 本题属于四边形综合题,主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定的综合应用,解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形,根据全等三角形的对应边相等进行推导.

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