Question

3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，DB⊥BC于点B，点E在BC上，AE、CD相交于点O，当AE与CD满足怎样的数量关系时，AE⊥CD，并说明理由．

Answer 1

分析 根据直角三角形HL判定三角形全等的方法可得AE=CD时，即可求得∠BCD=∠CAE，即可解题．

解答 解：当AE=CD时，AE⊥CD，
∵在Rt△DBC和Rt△ECA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{CD=AE}\end{array}\right.$，
∴Rt△DBC≌Rt△ECA（HL），
∴∠BCD=∠CAE，
∵∠ACO+∠BCD=90°，
∴∠ACO+∠CAE=90°，
∴∠AOC=90°，
∴AE⊥CD．

点评 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证Rt△DBC≌Rt△ECA（HL）是解题的关键．