Question

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=$\sqrt{3}$x与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象交于点A，且点A的横坐标为1，点B是x轴正半轴上一点，且AB⊥OA．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）先在∠AOB的内部求作点P，使点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等，且PA=PB；再写出点P的坐标．（不写作法，保留作图痕迹，在图上标注清楚点P）

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法先求出点A纵坐标，再求出反比例系数k即可．
（2）过点A作AC⊥OB⊥，垂足为点C，在RT△AOC中先求出OA，再在RT△AOB中求出OB即可解决问题．
（3）画出∠AOB的平分线OM，线段AB的垂直平分线EF，OM与EF的交点就是所求的点P，设点P（m，$\frac{\sqrt{3}}{3}$m），根据PA²=PB²，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）由题意，设点A的坐标为（1，m），
∵点A在正比例函数y=$\sqrt{3}$x的图象上，
∴m=$\sqrt{3}$．∴点A的坐标（1，$\sqrt{3}$），
∵点A在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴$\sqrt{3}$=$\frac{k}{1}$，解得k=$\sqrt{3}$，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$．
（2）过点A作AC⊥OB⊥，垂足为点C，
可得OC=1，AC=$\sqrt{3}$．
∵AC⊥OB，
∴∠ACO=90°．
由勾股定理，得AO=2，
∴OC=$\frac{1}{2}$AO，
∴∠OAC=30°，
∴∠ACO=60°，
∵AB⊥OA，
∴∠OAB=90°，
∴∠ABO=30°，
∴OB=2OA，
∴OB=4，
∴点B的坐标是（4，0）．
（3）如图作∠AOB的平分线OM，AB的垂直平分线EF，OM与EF的交点就是所求的点P，
∵∠POB=30°，
∴可以设点P坐标（m，$\frac{\sqrt{3}}{3}$m），
∵PA²=PB²，
∴（m-1）²+（$\frac{\sqrt{3}}{3}$m-$\sqrt{3}$）²=（m-4）²+（$\frac{\sqrt{3}}{3}$m）²，
解得m=3，
∴点P的坐标是（3，$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法确定函数解析式，学会利用两点间距离公式列方程解决问题，属于中考常考题型．