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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx经过A（2，0），直线y=
    1
    2
    x+m分别交x轴、y轴于点C、B，点D是抛物线上横坐标为m的点，作DE⊥x轴于E，DE所在的直线与直线y=
    1
    2
    x+m交于点F．
    （1）求该抛物线解析式；
    （2）随着m的变化，试探究：
    ①当m取何值时，点D和点F重合；
    ②当1＜m＜2时，用含m的代数式表示DF的长度；
    （3）将DF绕D顺时针旋转90°得到DF′，连结E F′，是否存在△DE F′与△CEF相似？若有，请求出m的值；若没有，请说明理由．
    分析：（1）把点A的坐标代入二次函数解析式求出b的值，即可得到抛物线的解析式；
    （2）①根据一次函数、二次函数图象上点的坐标特征设D点坐标为（m，-m2+2m），F点坐标为（m，
    3
    2
    m），根据点D、F重合，它们的纵坐标相等，列出关于m的方程-m2+2m=
    3
    2
    m，然后解方程即可得到m的值；
    ②由（1）中抛物线的解析式求出顶点坐标，再根据1＜m＜2可知点F在点D的上方，然后根据DF=EF-DE，代入数据整理即可得解；
    （3）根据直线解析式求出点C的坐标，再表示出点D、E、F的坐标，然后求出EF、DF、DE的长，再根据相似三角形对应边成比例分两种情况讨论求解即可．
    解答：解：（1）∵抛物线y=-x2+bx经过A（2，0），
    ∴-22+2b=0，
    解得b=2，
    ∴该抛物线解析式为y=-x2+2x；

    （2）①∵y=-x2+2x，
    ∴当x=m时，y=-m2+2m，
    即D点坐标为（m，-m2+2m），
    ∵y=
    1
    2
    x+m，
    ∴当x=m时，y=
    1
    2
    m+m=
    3
    2
    m，
    即F点坐标为（m，
    3
    2
    m）．
    ∵点D和点F重合，
    ∴-m2+2m=
    3
    2
    m，
    解得m1=0（不合题意，舍去），m2=
    1
    2
    ；
    综上所述，m的值是
    1
    2
    ；

    ②∵y=-x2+2x=-（x-1）2+1，
    ∴抛物线顶点坐标为（1，1），
    ∴当1＜m＜2时，点F在点D的上方，
    ∴DF=EF-DE=
    3
    2
    m-（-m2+2m）=m2-
    1
    2
    m；

    （3）存在m=
    3
    2
    或m=1，使△DE F′与△CEF相似．
    理由如下：令y=0，则
    1
    2
    x+m=0，
    解得x=-2m，
    ∴C（-2m，0），
    ∵点D的横坐标是m，
    ∴D（m，-m2+2m），F（m，
    3
    2
    m），E（m，0），
    ∴CE=3m，EF=
    3
    2
    m，DE=-m2+2m，DF′=DF=m2-
    1
    2
    m，
    ∴
    EF
    CE
    =
    3
    2
    m
    3m
    =
    1
    2
    ，
    DE
    DF′
    =
    -m2+2m
    m2-
    1
    2
    m
    =
    -2m+4
    2m-1
    ，
    ∵△DE F′与△CEF相似，
    ∴
    -2m+4
    2m-1
    =
    1
    2
    或
    -2m+4
    2m-1
    =2，
    解得m=
    3
    2
    或m=1，
    故，存在m=
    3
    2
    或m=1，使△DE F′与△CEF相似．
    点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与二次函数图象上点的坐标特征，相似三角形对应边成比例的性质，综合题，但难度不大．
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    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

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    5
    29
    5
    29
    ．

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    5
    5
    ．

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    k
    x
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    k
    x
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