Question

8．如图，已知：△ABC中，AB=AC，BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于O点．
（1）试说明△OBC是等腰三角形；
（2）试判断∠BOC与∠A的关系，（并加以说明）．

Answer 1

分析 （1）根据对边对等角得到∠ABC=∠ACB，再结合角平分线的定义得到∠OBC=∠OCB，从而证明OB=OC；
（2）根据三角形的内角和即可得到结论．

解答 解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠ABC=∠BCA；
∵BD、CE分别平分∠ABC、∠BCA，
∴∠OBC=∠BCO；
∴OB=OC，
∴△OBC为等腰三角形．

（2）∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A．
在△ABC中，AB=AC，
∴∠ABC=∠BCA，
∴∠ABC=$\frac{1}{2}$（180°-∠A），
∵BD、CE分别平分∠ABC、∠BCA，
∴∠OBC=∠BCO；
∴∠BOC=180°-2×$\frac{1}{2}$∠ABC=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A），
∴∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A．

点评 此题考查了等腰三角形的性质，综合利用了全等三角形的判定和角平分线的定义，对各知识点要能够熟练运用．