Question

如图，已知等边△ABC和等边△CDE，P、Q分别为AD、BE的中点．
（1）试判断△CPQ的形状并说明理由．
（2）如果将等边△CDE绕点C旋转，在旋转过程中△CPQ的形状会改变吗？请你将图2中的图形补画完整并说明理由．

Answer 1

解：（1）如图1，△CPQ是等边三角形．理由如下：
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴∠C=60°，AC=BC，DC=EC，
∴AC-DC=BC-EC，即AD=BE．
∵P、Q分别为AD、BE的中点，
∴PD=EQ，
∴CD+DP=CE+EQ，即CP=CQ，
∴△CPQ是等边三角形；

（2）如果将等边△CDE绕点C旋转，在旋转过程中△CPQ的形状不会改变．理由如下：
如图2，∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，
∵∠ACD=∠DCE-∠ACE，∠BCE=∠ACB-∠ACE，
∴∠ACD=∠BCE，
∴在△ACD与△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE （SAS），
∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，即∠CAP=∠CBQ．
∵P是AD的中点，Q是BE的中点，
∴AP=AD，BQ=BE，
∴AP=BQ，
∴在△ACP与△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴PC=QC，∠BCQ=∠ACP，
∵∠BCQ+∠ACQ=∠ACB=60°，
∴∠ACP+∠ACQ=60°，
∴∠PCQ=60°，
∴△CPQ是等边三角形．
分析：（1）由“有一内角为60°的等腰三角形为等边三角形”进行判断与证明；
（2）通过全等三角形△ACD≌△BCE、△ACP≌△BCQ的对应边相等、对应角相等的性质推知△CPQ的两边PC=QC、内角∠PCQ=60°，从而确定△CPQ是等边三角形．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质．根据等边三角形的判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．