Question

【题目】△ABC和△CDE是以C为公共顶点的两个三角形．

（1）如图1，当△ABC和△CDE都是等边三角形时，连接BD、AE相交于点P．求∠DPE的度数；

（2）如图2，当△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°时，连接AD、BE，Q为AD中点，连接QC并延长交BE于K．求证：QK⊥BE；

（3）在（1）的条件下，N是线段AE与CD的交点，PF是∠DPE的平分线，与DC交于点F，CN=2，∠PFN=45°，求FN的长．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）见解析；（3）

【解析】试题分析：(1)只要证明△BCD≌△ACE,可得∠BDC=∠AEC,利用“8字型”证明∠DPJ=∠JCE=60°即可；

·(2)如图2中,延长CQ到R,使得CQ=QR,连接AR、DR.只要证明△ACR≌△BCE，可得∠ACR=∠CBE，由∠ACR+∠BCK=90°，推出∠CBE+∠BCK=90°，,可得∠CKB=90°，即CK⊥BE．

(3)如图3中,作NH⊥EC于H，NG⊥PF于G，在EH上取一点K使得KN=KE.提供解直角三角形求出CE、DE、NE,再利用相似三角形的性质可得DE2=NE·PE，求出PE、PN,由此即可解决问题;

解：（1）如图1中，设AE交CD于J．

∵△ABC和△CDE都是等边三角形，

∴CB=CA，CD=CE，∠BCA=∠DCE，

∴BCD=∠ACE，

∴△BCD≌△ACE，

∴∠BDC=∠AEC，

∵∠PJD=∠CJE，

∴∠DPJ=∠JCE=60°，

∴∠DPE=60°．

（2）如图2中，延长CQ到R，使得CQ=QR，连接AR、DR．

∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，

∴∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，CE=CD，

∴∠BCE+∠ACD=180°，

∵AQ=DQ，CQ=QR，

∴四边形ACDR是平行四边形，

∴AR=CD=CE，AR∥CD，

∴∠CAR+∠ACD=180°，

∴∠BCE=∠CAR，∵CA=CB，AR=CE，

∴△ACR≌△BCE，

∴∠ACR=∠CBE，

∵∠ACR+∠BCK=90°，

∴∠CBE+∠BCK=90°，

∴∠CKB=90°，即CK⊥BE．

（3）如图3中，作NH⊥EC于H，NG⊥PF于G，在EH上取一点K使得NK=EK．

∵∠DPE=60°，PF平分∠DPE，

∴∠NPPF=30°，

∵∠PFN=45°，∠NGF=90°，

∴GF=GN=PN，FN=GN，

∴∠PNF=∠CNE=105°，∠CEN=15°，

∵KN=KE，

∴∠KNE=∠KEN=15°，

∴∠NKH=30°，

在Rt△CNH中，∵CN=2，∠CNH=30°，

∴CH=CN=，NH=CH=，

在Rt△NKH中，NK=KE=2NH=2，HK=NH=3，

∴EN===6+2，CE=DE=4+2

∵∠DEN=∠PED，∠EDN=∠EPD，

∴△DEN∽△PED，

∴DE2=NEPE，

∴可得PE=，PN=PE﹣EN=，

∴FN=××=．