Question

12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左则，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求出四边形ABPC的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积；
（3）连结PO、PC，在同一平面内把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C，是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，请直接写出Q点坐标．

Answer 1

分析 （1）根据点B、C的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式；
（2）有点B、C的坐标可得出直线BC的表达式，过P作PD∥y轴，交BC于D，设出点P的坐标，由此即可得出点D的坐标，根据三角形的面积以及三角形的面积公式即可得出S_{四边形ABPC}关于a的二次函数表达式，根据二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）取OC的中点E，过E作OC的垂线交抛物线于P，在PE的延长线上取EP′=PE，连接P′O、P′C，根据菱形的性质即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出点P和点P′的坐标，此题得解；
（4）设点Q的坐标为（m，m-3），结合点O、C的坐标即可得出OC、OQ、QC的长度，分OC=OQ、OC=QC以及OQ=QC三种情况考虑，由此即可得出关于m的方程，解方程求出m的值，将其代入点Q的坐标中即可得出结论．

解答 解：（1）将点B（3，0）、C（0，-3）代入y=x²+bx+c中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=9+3b+c}\\{-3=c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴该二次函数的表达式为y=x²-2x-3．
（2）∵点B（3，0），点C（0，-3），
∴直线BC：y=x-3．
过P作PD∥y轴，交BC于D，如图1所示．
设P（a，a²-2a-3），则点D（a，a-3），
当y=0时，x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴点A（-1，0）．
则S_{四边形ABPC}=S_△ABC+S_△PBC，
=$\frac{1}{2}$•AB•|y_C|+$\frac{1}{2}$•OB•DP，
=$\frac{1}{2}$×4×3+$\frac{1}{2}$×3×[a-3-（a²-2a-3）]，
=-$\frac{3}{2}$$（a-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{75}{8}$，
∵-$\frac{3}{2}$＜0，0＜a＜3，
∴当a=$\frac{3}{2}$时，四边形ABPC的面积取最大值，最大值为$\frac{75}{8}$．
（3）取OC的中点E，过E作OC的垂线交抛物线于P，在PE的延长线上取EP′=PE，连接P′O、P′C，如图2所示．
∵OE=CE，EP=EP′，OC⊥PP′，
∴四边形POP′C为菱形．
当y=-$\frac{3}{2}$，则有-$\frac{3}{2}$=x²-2x-3，
解得：x₁=$\frac{2-\sqrt{10}}{2}$（舍去），x₂=$\frac{2+\sqrt{10}}{2}$，
∴存在点P（$\frac{2+\sqrt{10}}{2}$，-$\frac{3}{2}$），使四边形POP′C为菱形．
（4）设点Q的坐标为（m，m-3），
∵O（0，0），C（0，-3），
∴OC=3，PC=$\sqrt{（m-0）^{2}+[m-3-（-3）]^{2}}$=$\sqrt{2}$|m|，PO=$\sqrt{{m}^{2}+（m-3）^{2}}$．
△QOC为等腰三角形分三种情况：
①当OC=PC时，3=$\sqrt{2}$|m|，
解得：m=±$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
此时点Q的坐标为（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-3）或（-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-3）；
②当OC=PO时，3=$\sqrt{{m}^{2}+（m-3）^{2}}$，
解得：m=3或m=0（舍去），
此时点Q的坐标为（3，0）；
③当PC=PO时，有$\sqrt{2}$|m|=$\sqrt{{m}^{2}+（m-3）^{2}}$，
解得：m=$\frac{3}{2}$，
此时点Q的坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．
综上可知：Q点坐标为（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-3）、（-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-3）、（3，0）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积、二次函数的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数关系式；（2）根据二次函数的性质解决最值问题；（3）根据菱形的性质找出关于x的方程；（4）根据等腰三角形的性质找出关于m的方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．