Question

1．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的三个顶点A（0，10），B（8，10），C（8，0），过O、C两点的抛物线y=ax²+bx+c与线段AB交于点D，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．

（1）求AD的长及抛物线的解析式；
（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒．请问当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形是等腰三角形？
（3）若点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M、N、C、E为顶点四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据折叠图形的轴对称性，△CED、△CBD全等，首先在Rt△CEO中求出OE的长，进而可得到AE的长；在Rt△AED中，AD=AB-BD、ED=BD，利用勾股定理可求出AD的长．进一步能确定D点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）分CP=CQ、CP=PQ、PQ=CQ三种情况讨论，根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可；
（3）由于以M，N，C，E为顶点的四边形，边和对角线都没明确指出，所以要分情况进行讨论：
①EC做平行四边形的对角线，那么EC、MN必互相平分，由于EC的中点正好在抛物线对称轴上，所以M点一定是抛物线的顶点；
②EC做平行四边形的边，那么EC、MN平行且相等，首先设出点N的坐标，然后结合E、C的横、纵坐标差表示出M点坐标，再将点M代入抛物线的解析式中，即可确定M、N的坐标．

解答 解：（1）∵四边形ABCO为矩形，
∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10，
∴△BDC≌△EDC，
∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD，
由勾股定理易得：EO=6．
∴AE=10-6=4，
设AD=x，则BD=ED=8-x，
由勾股定理，得x²+4²=（8-x）²，
解得，x=3，
∴AD=3，
∵抛物线y=ax²+bx+c过点D（3，10），C（8，0），O（0，0），
则$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b=10}\\{64a+8b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=\frac{16}{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{16}{3}$x；
（2）如图1，当CP=CQ时，
10-2t=t，t=$\frac{10}{3}$；
如图2，当CP=PQ时，
$\frac{\frac{t}{2}}{8}$=$\frac{10-2t}{10}$，t=$\frac{80}{21}$；
如图3，当CQ=PQ时，
$\frac{5-t}{8}$=$\frac{t}{10}$，t=$\frac{25}{9}$．
（3）假设存在符合条件的M、N点，分两种情况讨论：
EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，
若四边形MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点；
则：M（4，$\frac{32}{3}$）；
而平行四边形的对角线互相平分，那么线段MN必被EC中点（4，3）平分，
则N（4，-$\frac{14}{3}$）；
②EC为平行四边形的边，则EC∥MN，设N（4，m），
则M（4-8，m+6）或M（4+8，m-6）；
将M（-4，m+6）代入抛物线的解析式中，得：m=-38，
此时 N（4，-38）、M（-4，-32）；
将M（12，m-6）代入抛物线的解析式中，得：m=-26，
此时 N（4，-26）、M（12，-32），
综上，存在符合条件的M、N点，且它们的坐标为：①M₁（-4，-32），N₁（4，-38）；②M₂（12，-32），N₂（4，-26）；③M₃（4，$\frac{32}{3}$），N₃（4，-$\frac{14}{3}$）．

点评 考查了二次函数综合题，题目涉及了图形的折叠变换、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等重点知识．后两问的情况较多，需要进行分类讨论，以免漏解．