Question

如图，直线y=

1

2

x+1分别交x轴，y轴于点A，C，点P是直线AC与双曲线y=

k

x

在第一象限内的交点，PB⊥x轴，垂足为点B，△APB的面积为4．
（1）求点P的坐标；
（2）求双曲线的解析式及直线与双曲线另一交点Q的坐标．

Answer 1

分析：（1）求出直线y=

1

2

x+1与x轴，y轴于点A，C，根据点P在直线y=

1

2

x+1上，可设点P的坐标为（m，

1

2

m+1），根据S_△APB=

1

2

AB•PB就可以得到关于m的方程，求出m的值．
（2）根据△APB的面积为4．就可以得到k=4，解反比例函数与一次函数解析式组成的方程组，就得到直线与双曲线的交点．

解答：解：（1）y=

1

2

x+1，令x=0，则y=1；令y=0，则x=-2，
∴点A的坐标为（-2，0），点C的坐标为（0，1）．（1分）
∵点P在直线y=

1

2

x+1上，可设点P的坐标为（m，

1

2

m+1），
又∵S_△APB=

1

2

AB•PB=4，
∴

1

2

（2+m）（

1

2

m+1）=4．（2分）
即：m²+4m-12=0，
∴m₁=-6，m₂=2．
∵点P在第一象限，
∴m=2．（3分）
∴点P的坐标为（2，2）；（4分）

（2）∵点P在双曲线y=

k

x

上，
∴k=xy=2×2=4．（5分）
∴双曲线的解析式为y=

4

x

．（6分）
解方程组

y= 4 x y= 1 2 x+1

得

x1=2 y1=2

，

x2=-4 y2=-1

（8分）
∴直线与双曲线另一交点Q的坐标为（-4，-1）．（9分）

点评：本题主要考查了待定系数法求函数解析式，以及函数图象上的点与解析式的关系，图象上的点一定满足函数解析式．