Question

如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8

2

，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．
（1）在此运动变化的过程中，△DFE是

等腰直角

三角形；
（2）若AD=

2

，求△DFE的面积．

Answer 1

分析：（1）连接CF，证△ADF≌△CEF，推出EF=DF，∠CFE=∠AFD，即可求出答案；
（2）求出四边形CDFE的面积等于△AFC的面积，求出△AFC的面积即可．

解答：（1）解：△DEF是等腰直角三角形，
理由是：连接CF；
∵△ABC是等腰直角三角形，F为AB中点，
∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB；
∵在△ADF和△CEF中

AD=CE ∠A=∠FCE AF=CF

，
∴△ADF≌△CEF（SAS），
∴EF=DF，∠CFE=∠AFD，
∵∠AFD+∠CFD=90°，
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形．

②解：当D、E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形．
∵△ADF≌△CEF，
∴S_△CEF=S_△ADF
∴S_{四边形CEFD}=S_△AFC，
∵在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8

2

，由勾股定理得：AB=16，
∴AF=CF=

1

2

AB=8，
∴S_{四边形CEFD}=S_△AFC=

1

2

×8×8=32，
∴△DFE的面积S=S_{四边形CEFD}-S_三角形DCE=32-

1

2

×8

2

×

2

=25．

点评：本题考查了直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的应用．