Question

如图，抛物线y=

1

2

x²+mx+n交x轴于A、B两点，直线y=kx+b经过点A，与这条抛物线的对称轴交于点M（1，2），且点M与抛物线的顶点N关于x轴对称．
（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）根据图象，写出函数值y为负数时，自变量x的取值范围；
（3）设题中的抛物线与直线的另一交点为C，已知P（x，y）为直线AC上一点，过点P作PQ⊥x轴，交抛物线于点Q．当-1≤x≤1.5时，求线段PQ的最大值．

Answer 1

分析：（1）由于点M和抛物线顶点关于x轴对称，即可得到点N的坐标，进而表示出该抛物线的顶点坐标式函数解析式．
（2）令二次函数解析式中y=0求出x的值，确定出A与B的坐标，利用函数图象即可求出y小于0时x的范围；
（3）将点A与点B的坐标代入y=kx+b求出k与b的值，确定直线AC的解析式，得到点P坐标为（x，x+1），根据直线AC和抛物线的解析式，即可得到P、Q的纵坐标，从而得到关于PQ的长和P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出PQ的最大值及对应的P点坐标．

解答：解：（1）由题意知，抛物线顶点N的坐标为（1，-2），
故其函数关系式为y=

1

2

（x-1）²-2=

1

2

x²-x-

3

2

；

（2）由

1

2

x²-x-

3

2

=0，
得x=-1或3，即A（-1，0）、B（3，0）；
根据图象得：函数值y为负数时，自变量x的取值范围为-1＜x＜3；

（3）由（2）得：A（-1，0）、B（3，0）；
∵将A（-1，0）、M（1，2）代入y=kx+b中得：

-k+b=0 k+b=2

，
解得：

k=1 b=1

，
∴直线AC的函数关系式为y=x+1，
∴P坐标为（x，x+1），Q的坐标为（x，

1

2

x²-x-

3

2

），
∴PQ=（x+1）-（

1

2

x²-x-

3

2

）=-

1

2

x²+2x+

5

2

=-

1

2

（x-2）²+

9

2

，
∵a=-

1

2

＜0，-1≤x≤1.5，
∴当x=1.5时，PQ有最大值为

35

8

，
即P点（1.5，2.5）时，PQ长有最大值为

35

8

．

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法、二次函数最值的应用、坐标与图形性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法及数形结合的思想是解本题的关键．