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(2004•陕西)已知:如图,⊙O是△ABC的外接圆,且AB=AC=13,BC=24,PA是⊙O的切线,A为切点,割线PBD过圆心,交⊙O于另一点D,连接CD.
(1)求证:PA∥BC;
(2)求⊙O的半径及CD的长.

【答案】分析:(1)如图;由AB=AC,可以得到∠1=∠2,然后利用弦切角定理就可以证得PA与BC的内错角相等,由此得证;
(2)本题需构建直角三角形求解,连接OA,交BC于G,由垂径定理知:OA垂直平分BC,
在Rt△ABG中,已知了AB、BG的长,根据勾股定理可求出AG的长,
在Rt△OBG中,用圆的半径表示出OG的长,然后根据勾股定理,求出圆的半径长,进而可求出OG的长,
△BCD中,易证得OG是△BCD的中位线,由此可求出CD的长.
解答:(1)证明:∵PA是⊙O的切线,
∴∠PAB=∠2.
又∵AB=AC,
∴∠1=∠2,
∴∠PAB=∠1.
∴PA∥BC.

(2)解:连接OA交BC于点G,则OA⊥PA;
由(1)可知,PA∥BC,
∴OA⊥BC.
∴G为BC的中点,
∵BC=24,
∴BG=12.
又∵AB=13,
∴AG=5.
设⊙O的半径为R,则OG=OA-AG=R-5,
在Rt△BOG中,
∵OB2=BG2+OG2
∴R2=122+(R-5)2
∴R=16.9,OG=11.9;
∵BD是⊙O的直径,
∴DC⊥BC.
又∵OG⊥BC,
∴OG∥DC.
∵点O是BD的中点,
∴DC=2OG=23.8.
点评:此题综合考查了切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定、勾股定理、垂径定理、中位线定理等知识点,综合性较强,难度较大.
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