【题目】 如图,AB是⊙O的直径,点E为线段OB上一点(不与O、B重合),作EC⊥OB,交⊙O于点C,作直径CD,过点C的切线交DB的延长线于点P,作AF⊥PC于点F,连接CB.
(1)求证:AC平分∠FAB;
(2)求证:BC2=CECP;
(3)若,⊙O的面积为12π,求PF的长.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)7
【解析】
(1)根据切线的性质得到OC⊥CP,证明OC∥AF,根据平行线的性质、等腰三角形的性质证明;
(2)根据圆周角定理得到∠ACB=90°,证明△CEB∽△CBP,根据相似三角形的性质证明结论;
(3)设CE=3x,根据题意用x表示出CP、CB,根据相似三角形的性质列出方程,解方程求出x,根据角平分线的性质得到CF=CE,结合图形计算,得到答案.
(1)证明:∵CP是⊙O的切线,
∴OC⊥CP,
∵AF⊥PC,
∴OC∥AF,
∴∠FAC=∠ACO,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠ACO,
∴∠FAC=∠OAC,即AC平分∠FAB;
(2)证明:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,即∠CAB+∠ABC=90°,
∵EC⊥OB,
∴∠ECB+∠ABC=90°,
∴∠CAB=∠ECB,
∵CP是⊙O的切线,
∴∠CAB=∠BCP,
∴∠ECB=∠BCP,
∵CD是⊙O的直径,
∴∠CBD=90°,
∴∠CEB=∠CBP,又∠ECB=∠BCP,
∴△CEB∽△CBP,
∴=,即BC2=CECP;
(3)解:设CE=3x,
∵,
∴CP=4x,
∵BC2=CECP,
∴BC=2x,
由勾股定理得,BE==x,
∵⊙O的面积为12π,
∴⊙O的半径为2,即AB=4,
∵∠ACB=90°,CE⊥AB,
∴BC2=BEAB,即(2x)2=x4,
解得,x=1,
则CE=3,CP=4,
∵AC平分∠FAB,AF⊥PC,EC⊥OB,
∴CF=CE=3,
∴PF=CF+CP=7.
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【题目】如图(1),在中,,点分别是边的中点,连接.
(1)如图①,求的值;
(2)将绕点顺时针旋转到如图(2)的位置时,的大小是否发生变化,若不变化,请说明理由;若发生变化,请求出它的值;
(3)将绕点顺时针旋转到直线的下方,且在同一直线上时,如图(3),求线段的长.
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【题目】在一场篮球比赛中,一名球员在关键时刻投出一球,已知球出手时离地面高2米,与篮圈中心的水平距离为7米,当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米,已知篮球运行的轨迹为抛物线,篮圈中心距离地面3.19米.
(1)以地面为x轴,篮球出手时垂直地面所在直线为y轴建立平面直角坐标系,求篮球运行的抛物线轨迹的解析式;
(2)通过计算,判断这个球员能否投中?
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【题目】如图,利用一面墙(墙的长度不超过45米),用80米长的篱笆围一个矩形场地.
(1)设所围矩形ABCD的边AB为x米,则边BC= 米;
(2)怎样围才能使矩形场地的面积为750米2.
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【题目】(已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①abc>0;②2a+b>0;③b2﹣4ac>0;④a﹣b+c>0,其中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】一个滑道由滑坡(AB段)和缓冲带(BC段)组成,如图所示,滑雪者在滑坡上滑行的距离y(单位:m)和滑行时间t1(单位:s)满足二次函数关系,并测得相关数据:
滑行时间t1/s | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
滑行距离y1/s | 0 | 4.5 | 14 | 28.5 | 48 |
滑雪者在缓冲带上滑行的距离y2(单位:m)和在缓冲带上滑行时间t2(单位:s)满足:y2=52t2﹣2t22,滑雪者从A出发在缓冲带BC上停止,一共用了23s,则滑坡AB的长度( )米
A.270B.280C.375D.450
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【题目】如图,点是直径上的一点,过作直线,分别交于,两点,连接,并将线段绕点逆时针旋转得到,连接,分别交和于,,连接.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若点在直径上运动(不与点,重合),其它条件不变,请问是否为定值?若是,请求出其值;若不是,请说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,A(6,0),B(6,3),画出△ABO的所有以原点O为位似中心的△CDO,且△CDO与△ABO的相似比为1:3,并写出C、D的坐标.
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