Question

（1998•苏州）已知：a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，抛物线y=x²-2ax+b²交x轴于两点M、N，交y轴于点P，其中点M的坐标是（a+c，0）．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）若△MNP的面积是△NOP的面积的3倍，
①求cosC的值；
②试判断，△ABC的三边长能否取一组适当的值，使以MN为直径的圆恰好过抛物线y=x²-2ax+b²的顶点？如能，求出这组值；如不能，说明理由．

Answer 1

分析：（1）将点M（a+c，0）代入抛物线y=x²-2ax+b²，整理可得a²=b²+c²，从而判断出三角形为直角三角形；
（2）①根据S_△MNP=3S_△NOP，判断出MN=3ON，即MO=4ON，求出N点坐标的表达式，得到x=a+c和x=

a+c

4

是方程x²-2ax+b²=0的两根，求出a、c之间的关系，然后根据锐角三角函数的定义求出cosC=

b

a

=

4

5

．
②过D作DE⊥x轴于点E，则NE=EM，DN=DM，要使以MN为直径的圆恰好过抛物线y=x²-2ax+b²的顶点，则使△MND为等腰直角三角形，只须ED=

1

2

MN=EM．据此进行计算即可．

解答：解：（1）∵抛物线y=x²-2ax+b²经过点M（a+c，0），
∴（a+c）²-2a（a+c）+b²=0，即a²=b²+c²．
由勾股定理的逆定理，得△ABC为直角三角形．

（2）①如图1所示?∵S_△MNP=3S_△NOP，
∴MN=3ON，即MO=4ON，又M（a+c，0），
∴N（

a+c

4

，0），
∴x=a+c和x=

a+c

4

是方程x²-2ax+b²=0的两根，
此时两个为x_1，2=

2a± 4a2-4b2

2

=a±

a2-b2

，
∴a+c+

a+c

4

=2a，
∴c=

3

5

a，由（1）知：在△ABC中，∠A=90°，由勾股定理得b=

4

5

a，
∴cosC=

b

a

=

4

5

．
②能，由（1）知：y=x²-2ax+b²=x²-2ax+a²-c²=（x-a）²-c²，
∴顶点D（a，-c²）．
过D作DE⊥x轴于点E，则NE=EM，DN=DM，要使以MN为直径的圆恰好过抛物线y=x²-2ax+b²的顶点，则使△MND为等腰直角三角形，只须ED=

1

2

MN=EM．
∵M（a+c，0），D（a，-c²），
∴DE=c²，EM=c，
∴c²=c，又c＞0，
∴c=1．
∵c=

3

5

a，b=

4

5

a，
∴a=

5

3

，b=

4

3

；
∴当a=

5

3

，b=

4

3

，c=1时，△MND为等腰直角三角形．
此时，EM=ED=EN，以MN为直径的圆恰好过抛物线y=x²-2ax+b²的顶点．

点评：本题考查了二次函数的性质，是一道探索题，是近年来中考命题的热点问题．在第（2）小题中要求同学们先猜想可能的结论，再进行证明，这对同学们的确有较高的能力要求．而在探索结论前可以自己先画几个草图，做到心中有数再去努力求证．总之这是一道新课标形势下的优秀压轴．