Question

在?ABCD中，AB=10，AD=18，∠BAD的平分线交BC于E，交DC延长线于点F．
（1）找出图中所有等腰三角形并选择其中一个证明；
（2）过点B作BG⊥AF于G，若BG=8，求EF的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等腰三角形的判定,勾股定理,平行四边形的性质

专题：

分析：（1）根据角平分线的性质可得∠BAF=∠FAD，再根据AB∥DC，AD∥BC，可得到∠BAF=∠F，∠DAF=∠AEB=∠CEF，从而可得到△ADF，△ABE，△CEF是等腰三角形．
（2）首先利用勾股定理可求出AG的长，再证明△ABE∽△FCE，利用相似三角形的性质即可求出EF的长．

解答：解：（1）△ABE、△CEF、△ADF
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠DAE=∠AEB，
∵∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴△ABE是等腰三角形；             
（2）在△ABG中∠ABG=90°，AB=10，BG=8，
∴AG²+BG²=AB²，
∴AG=6，
∵AB=BE，
∴AE=2AG=12，
∵AD=BC=18，
∴CE=BC-BE=8，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△FCE，
∴

AE

EF

=

BE

CE

，
∴EF=

48

5

．

点评：此题主要考查了等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，以及勾股定理，平行四边形的性质，是一个综合性较强的题目，证出△ADF是等腰三角形，求出△ABE的周长是解题的关键．