Question

15．在△ABC中，AB=BC，∠B=90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．
（1）如果点D在线段BC上运动，如图1：
①依题意补全图1；
②求证：∠BAD=∠EDC；
③通过观察、实验，小明得出结论：在点D运动的过程中，总有∠DCE=135°，．
小明与同学讨论后，形成了证明这个结论的几种想法：
想法一：在AB上取一点F，使得BF=BD，要证∠DCE=135°，只需证△ADF≌△DEC．
想法二：以点D为圆心，DC为半径画弧交AC于点F，要证∠DCE=135°，只需证△AFD≌△DCE．
想法三：过点E作BC所在直线的垂直线段EF，要证∠DCE=135°，只需证EF=CF．
…
请你参考上面的想法，证明∠DCE=135°
（2）如果点D在线段CB的延长线上运动，利用图2画图分析，∠DCE的度数还是确定的值吗？如果是，直接写出∠DCE的度数；如果不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）①根据题意作出图形即可；②根据余角的性质得到结论；③证法1：如图1，在AB上取点F，使得BF=BD，连接DF，根据等腰直角三角形的性质得到∠BFD=45°，根据全等三角形的性质得到∠DCE=∠AFD=135°；证法2：以D为圆心，DC为半径作弧交AC于点F，连接DF，根据全等三角形的性质即可得到结论；证法3：过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）过E作EF⊥DC于F，根据全等三角形的性质得到DB=EF，AB=DF=BC，根据线段的和差得到FC=EF，于是得到结论．

解答 解：（1）①如图①所示；
②证明：∵∠B=90°，
∴∠BAD+∠BDA=90°，
∵∠ADE=90°，点D在线段BC上，
∴∠BAD+∠EDC=90°，
∴∠BAD=∠EDC；
②证法1：如图1，在AB上取点F，使得BF=BD，连接DF，
∵BF=BD，∠B=90°，
∴∠BFD=45°，
∴∠AFD=135°，
∵BA=BC，
∴AF=CD，
在△ADF和△DEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=CD}\\{∠BAD=∠CDE}\\{AD=DE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△DEC，
∴∠DCE=∠AFD=135°；
证法2：以D为圆心，DC为半径作弧交AC于点F，连接DF，
∴DC=DF，∠DFC=∠DCF，
∵∠B=90°，AB=BC，
∴∠ACB=45°，∠DFC=45°，
∴∠DFC=90°，∠AFD=135°，
∵∠ADE=∠FDC=90°，
∴∠ADF=∠EDC，
在△ADF≌△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=DE}\\{∠ADF=∠EDC}\\{DF=DC}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CDE，
∴∠AFD=∠DCE=135°；
证法3：过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，
∴∠EFD=90°，
∵∠B=90°，
∴∠EFD=∠B，
在△ABD和△DFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠CDE=90°-∠ADB}\\{∠B=∠EFD}\\{AD=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△DFE，
∴AB=DF，BD=EF，
∵AB=BC，
∴BC=DF，BC-DC=DF-DC，
即BD=CF，
∴EF=CF，
∵∠EFC=90°，
∴∠ECF=45°，∠DCE=135°；

（2）解：∠DCE=45°，
理由：过E作EF⊥DC于F，
∵∠ABD=90°，
∴∠EDF=∠DAB=90°-∠ADB，
在△ABD和△DFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAB=∠EDF}\\{∠ABD=∠DFE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△DFE，
∴DB=EF，AB=DF=BC，
∴BC-BF=DF-BF，
即FC=DB，
∴FC=EF，
∴∠DCE=45°．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，余角的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．