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4.如图(1),在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(-1,0),(3,0),将线段AB先向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度,得到线段CD,连接AC,BD.
(1)求点C,D的坐标及S四边形ABDC
(2)点Q在y轴上,且S△QAB=S四边形ABDC,求出点Q的坐标;
(3)如图(2),点P是线段BD上任意一个点(不与B、D重合),连接PC、PO,试探索∠DCP、∠CPO、∠BOP之间的关系,并证明你的结论.

分析 (1)根据平移直接得到点C,D坐标,用面积公式计算;
(2)设出Q的坐标,OQ=|m|,用S△QAB=S四边形ABDC建立方程,解方程即可;
(3)作出辅助线,平行线,用两直线平行,内错角相等,即可.

解答 解:(1)∵线段AB先向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度,得到线段CD,
且(-1,0),B(3,0),
∴C(0,2),D(4,2);
∵AB=4,OC=2,
∴S四边形ABDC=AB×OC=8;
(2)∵点Q在y轴上,设Q(0,m),
∴OQ=|m|,
∴S△QAB=$\frac{1}{2}$×AB×OQ=$\frac{1}{2}$×4×|m|=2|m|,
∵S四边形ABDC=8,
∴2|m|=8,
∴m=4或m=-4,
∴Q(0,4)或Q(0,-4).
(3)如图,

∵线段CD是线段AB平移得到,
∴CD∥AB,
作PE∥AB,
∴CD∥PE,
∴∠CPE=∠DCP,
∵PE∥AB,
∴∠OPE=∠BOP,
∴∠CPO=∠CPE+∠OPE=∠DCP+∠BOP,
∴∠CPO=∠DCP+∠BOP.

点评 此题是几何变换综合题,主要考查了平移得性质,计算三角形面积的方法,平行线的判定和性质,解本题的关键用面积建立方程或计算,作出辅助线是解本题的难点.

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