Question

【题目】已知，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点O是边AC的中点，连接OB，将△AOB绕点A顺时针旋转α°至△ANM，连接CM，点P是线段CM的中点，连接PB，PN．

（1）如图1，当α＝180时，请直接写出线段PN和PB之间满足的位置和数量关系；

（2）如图2，当0＜α＜180时，请探索线段PN和PB之间满足何位置和数量关系？证明你的结论

（3）当△AOB旋转至C，M，N三点共线时，线段BP的长为　 　．

Answer 1

【答案】（1）PB＝PN，PB⊥PN，理由见解析；（2）PB＝PN，PB⊥PN，理由见解析；（3）±.

【解析】

（1）如图1中，结论：PB＝PN，PB⊥PN．利用直角三角形斜边的中线的性质以及圆周角定理解决问题即可．

（2）如图2中，结论：PB＝PN，PB⊥PN．延长BP到G，使得PG＝PB，连接GM，GN，BN．想办法证明△BNG是等腰直角三角形即可．

（3）分两种情形：①如图3﹣1中，连接BM．证明△ABM是等边三角形，BP⊥CM即可解决问题．

②如图3﹣2中，当C，N，M共线时，方法类似①．

解：（1）如图1中，结论：PB＝PN，PB⊥PN．

理由：当α＝180°时，C，A，N共线，B，A，M共线，

∵∠CNM＝∠CBM＝90°，PC＝PM，

∴PB＝PC＝PM＝PN，

∴C，B，N，M四点共圆，

∴∠BPN＝2∠BMN，

∵∠AMN＝45°，

∴∠BPN＝90°，

∴PB＝PN，PB⊥PN．

（2）如图2中，结论：PB＝PN，PB⊥PN．

理由：延长BP到G，使得PG＝PB，连接GM，GN，BN．

∵PC＝PM，∠CPB＝∠MPG，PB＝PG，

∴△CPB≌△MPG（SAS），

∴BC＝GM＝AB，∠BCP＝∠GMP＝∠1+45°，

∴∠GMN＝360°﹣∠GMP﹣∠2﹣∠AMN＝360°﹣∠1﹣45°﹣∠2﹣45°＝270°﹣∠1﹣∠2，

∵∠BAN＝45°+∠CAM+45°＝90°+（180°﹣∠1﹣∠2）＝270°﹣∠1﹣∠2，

∴∠NMG＝∠BAN，

∴AB＝MG，AN＝NM，

∴△BAN≌△GMN（SAS），

∴BN＝GN，∠BNA＝∠GNM，

∴∠BNG＝∠ANM＝90°，

∵PB＝PG，

∴PN＝PB＝PG，PN⊥BG，

即PB＝PN，PN⊥PB．

（3）①如图3﹣1中，连接BM．

当C，M，N共线时，∵∠CNA＝90°，AC＝2AN，

∴∠ACN＝30°，

∵∠NMA＝∠MCA+∠MAC＝45°，

∴∠CAM＝15°，

∵∠MAB＝∠VAM+∠OAB＝60°，

∵AB＝AM，

∴△ABM是等边三角形，

∴BA＝BM＝BC，

∵PC＝PM，

∴BP⊥CM，

∵AB＝BC＝4，

∴AC＝4，

∴AN＝OA＝2，CN＝AN＝2，

∴CM＝CN﹣MN＝2﹣2，

∴PC＝﹣，

∴PB＝．

②如图3﹣2中，当C，N，M共线时，同法可证∠ACN＝30°，∠BAN＝15°，∠BAM＝60°，

∴△ABM是等边三角形，

∴BM＝BA＝BC，

∵PC＝PM，

∴BP⊥CM，

∴PB＝，

综上所述，满足条件的BP的值为．

故答案为．