Question

4．已知，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点M、N分别在线段OC、CD上，AM的延长线与射线ON相交于点E，与弦CD相交于点F．
（1）如图1，若DN=OM，求证：AM=ON；
（2）如图2，点P是弦CD上一点，若AP=OP，∠APO=90°，求∠COP的度数；
（3）在（1）的条件下，若AB=20，cos∠AOC=$\frac{4}{5}$，当点E在ON的延长线上，且NE=NF时，求线段EF的长．

Answer 1

分析 （1）先判断出∠BOD=∠NDO，$\widehat{AC}=\widehat{BD}$进而得出∠AOC=∠CDO，即可得出△AMO≌△OND，结论得证；
（2）构造出直角三角形，先判断出PH=$\frac{1}{2}$OA，即可得出CG=$\frac{1}{2}$OC，进而求出∠AOC=30°，最后用角的差，即可得出结论．
（3）先求出CD=2CG=16，再判断出△AOE≌△COD，进而判断出四边形AODF是平行四边形，最后用线段的差即可得出结论；

解答 解：（1）如图1，

连接OD，
∴OA=OD，
∵CD∥AB，
∴∠BOD=∠NDO，$\widehat{AC}=\widehat{BD}$，
∴∠AOC=∠BCD，
∴∠AOC=∠CDO，
在△AMO和△OND中，$\left\{\begin{array}{l}{OA=OD}\\{∠AOM=∠ODN}\\{OM=DN}\end{array}\right.$，
∴△AMO≌△OND，
∴AM=ON，
（2）如图2，

过点C作CG⊥AB，PH⊥AB，
∴CG=PH，
∵AP=OP，∠APO=90°，
∴∠AOP=45°，PH=$\frac{1}{2}$OA，
∴CG=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$OC，
∴∠AOC=30°，
∴∠COP=∠AOP-∠AOC=15°．
（3）如图3，

作OG⊥CD于G，连接OD，
∵AB=20，
∴OC=10
CG=OC•cos∠C=OC•cos∠AOC=10×$\frac{4}{5}$=8
∴CD=2CG=16
∵NE=NF，
∴∠E=∠EFN
∵CD∥AB，
∴∠EFN=∠A
∴∠E=∠A，
∴OE=OA
∵CD∥AB，
∴∠BOD=∠D=∠C=∠AOC
∴∠AOE=∠COD
∴△AOE≌△COD，
∴AE=CD=16
∵△AOM≌△ODN，
∴∠NOD=∠A=∠E
∴AE∥OD，
∴四边形AODF是平行四边形
∴AF=OD=10
∴EF=AE-AF=16-10=6，

点评 此题是四边形综合题，主要考查了圆的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，得出△AOE≌△COD是解本题的关键．