Question

请阅读下列材料：
问题：如图1，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点B、C、E在同一条直线上，M是线段AF的中点，连接DM，MG．探究线段DM与MG数量与位置有何关系．

小聪同学的思路是：延长DM交GF于H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）直接写出上面问题中线段DM与MG数量与位置有何关系______；
（2）将图1中的正方形CEFG绕点C顺时针旋转，使正方形CEFG对角线CF恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）如图3，将正方形CEFG绕点C顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，写出你的猜想．

Answer 1

（1）解：如图1，在正方形ABCD和正方形CEFG中，AD∥BC∥GF，
∴∠DAM=∠HFM，
∵M是线段AF的中点，
∴AM=FM，
在△ADM和△FHM中，，
∴△ADM≌△FHM（ASA），
∴DM=HM，AD=FH，
∵GD=CG-CD，GH=GF-FH，AD=CD，CG=GF，
∴GD=GH，
∴△DGH是等腰直角三角形，
∴DM=MG且DM⊥MG；

（2）如图2，延长DM交CF于H，连接GD，GH，
同（1）可得DM=HM，AD=FH，
∵CF恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上，
∴∠DCG=90°-45°=45°，
∠HFG=45°，
∴∠DCG=∠HFG，
在△CDG和△FHG中，，
∴△CDG≌△FHG（SAS），
∴GD=GH，∠CGD=∠FGH，
∴∠DGH=∠CGD+∠CGH=∠FGH+∠CGH=∠CGF=90°，
∴△DGH是等腰直角三角形，
∴DM=MG且DM⊥MG；

（3）如图3，过点F作FH∥AD交DM的延长线于H，交DC的延长线于N，
同（1）可得DM=HM，AD=FH，
易得∠NCE=∠EFN，
∵∠DCG+∠NCE=180°-90°=90°，
∠HFG+∠EFN=90°，
∴∠DCG=∠HFG，
在△CDG和△FHG中，，
∴△CDG≌△FHG（SAS），
∴GD=GH，∠CGD=∠FGH，
∴∠DGH=∠CGD+∠CGH=∠FGH+∠CGH=∠CGF=90°，
∴△DGH是等腰直角三角形，
∴DM=MG且DM⊥MG．
分析：（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠DAM=∠HFM，然后利用“角边角”证明△ADM和△FHM全等，根据全等三角形对应边相等可得DM=HM，AD=FH，再求出GD=GH，然后根据等腰直角三角形的性质解答；
（2）延长DM交CF于H，连接GD，GH，同（1）可得DM=HM，AD=FH，再利用“边角边”证明△CDG和△FHG全等，根据全等三角形对应边相等可得GD=GH，∠CGD=∠FGH，然后根据等腰直角三角形的性质解答；
（3）过点F作FH∥AD交DM的延长线于H，交DC的延长线于N，同（1）可得DM=HM，AD=FH，根据等角的余角相等求出∠DCG=∠HFG，然后利用“边角边”证明△CDG和△FHG全等，根据全等三角形对应边相等可得GD=GH，然后根据等腰直角三角形的性质解答．
点评：本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，在正方形中证明三角形全等，并运用全等的性质解题是中考的热点，本题作辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．