Question

三项式x²-x-2n能分解为两个整系数一次因式的乘积
（1）若1≤n≤30，且n是整数，则这样的n有多少个？
（2）当n≤2005时，求最大整数n

Answer 1

（1）x²-x-2n=(x-

1+ 1+8n

2

)(x-

1- 1+8n

2

)（3分）
则应有1+8n=9，25，49，81，121，169，225，289（7分）
相应解得n=1，3，6，10，15，21，28，36（舍去）
故当1≤n≤30时，满足条件的整数n有7个（10分）
（2）观察数列1，3，6，10，发现
1=1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4
故n=1+2+3+…+k≤2005
∴

(1+k)k

2

≤2005
验证得当k=62时，n取最大值为1953（20分）