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取一张矩形的纸进行折叠,具体操作过程如下:
第一步:先把矩形ABCD对折,折痕为MN,如图(1)所示;
第二步:再把B点叠在折痕线MN上,折痕为AE,点B在MN上的对应点为B′,得Rt△AB′E,如图(2)所示;
第三步:沿EB′线折叠得折痕EF,如图(3)所示;利用展开图(4)所示.

探究:
(1)△AEF是什么三角形?证明你的结论.
(2)对于任一矩形,按照上述方法是否都能折出这种三角形?请说明理由.
(3)如图(5),将矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点A落在DC边上的点A′处,x轴垂直平分DA,直线EF的表达式为y=kx-k (k<0)
①问:EF与抛物线y=-
1
8
x2
有几个公共点?
②当EF与抛物线只有一个公共点时,设A′(x,y),求
x
y
的值.
(1)△AEF是等边三角形
证明:∵PE=PA,
B′P是RT△AB′E斜边上的中线
∴PA=B′P,
∴∠EAB′=∠PB′A,
又∵PNAD,
∴∠B′AD=∠PB′A,
又∵2∠EAB′+∠B′AD=90°,
∴∠EAB′=∠B′AD=30°,
易证∠AEF=60°,∴∠EAF=60°,
∴△AEF是等边三角形;

(2)不一定,
设矩形的长为a,宽为b,可知b≤
3
2
a
时,一定能折出等边三角形,
3
2
a
<b<a时,不能折出;

(3)①由
y=kx-k
y=-
1
8
x2

得x2+8kx-8k=0,△=(8k)2+32k=32k(2k+1),
∵k<0.
∴k<-
1
2
时,△>0,EF与抛物线有两个公共点.
k=-
1
2
,△=0
时,EF与抛物线有一个公共点.
k>-
1
2
,△<0
时,EF与抛物线没有公共点,
②EF与抛物线只有一个公共点时,k=-
1
2

EF的表达式为y=-
1
2
x+
1
2

EF与x轴、y轴的交点为M(1,0),E(0,
1
2
),
∵∠EMO=90°-∠OEM=∠EAA′,
∴RT△EMORT△A′AD,
OE
OM
=
DA/
DA

1
2
1
=
x
2y

x
y
=1

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

在直角坐标系中,抛物线y=-
1
2
x2+mx-n与x轴交于A、B两点.与y轴交于C点.已知A、B两点都在x轴负半轴上(A左B右),△AOC与△COB相似,且tan∠CBO=4tan∠BCO.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若此抛物线的对称轴与直线y=nx交于D.以D为圆心,作与x轴相切的圆,交y轴于M、N两点.求劣弧MN所对的弓形面积;
(3)在y轴上是否存在一点F,使得FD+FA的值最小,若存在,求出△ABF的面积,若不存在,说明理由.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示,下列几个结论:
①对称轴为x=2;②当y>0时,x<0或x>4;③函数解析式为y=-x(x-4);④当x≤0时,y随x的增大而增大.其中正确的结论有______(填写序号)

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图1,点A为抛物线C1:y=
1
2
x2-2的顶点,点B的坐标为(1,0)直线AB交抛物线C1于另一点C
(1)求点C的坐标;
(2)如图1,平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D,交抛物线C1于点E,平行于y轴的直线x=a交直线AB于F,交抛物线C1于G,若FG:DE=4:3,求a的值;
(3)如图2,将抛物线C1向下平移m(m>0)个单位得到抛物线C2,且抛物线C2的顶点为点P,交x轴于点M,交射线BC于点N.NQ⊥x轴于点Q,当NP平分∠MNQ时,求m的值.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在平面直角坐标系xoy中,点A在y轴上坐标为(0,3),点B在x轴上坐标为(10,0),BC⊥x轴,直线AC交x轴于M,tan∠ACB=2.
(1)求直线AC的解析式;
(2)点P在线段OB上,设OP=x,△APC的面积为S.请写出S关于x的函数关系式及自变量x的取值范围;
(3)探索:在线段OB上是否存在一点P,使得△APC是直角三角形?若存在,求出x的值,若不存在,请说明理由;
(4)当x=4时,设顶点为P的抛物线与y轴交于D,且△PAD是等腰三角形,求该抛物线的解析式.(直接写出结果)

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,已知直线y=x+8交x轴于A点,交y轴于B点,过A、0两点的抛物线y=ax2+bx(a<O)的顶点C在直线AB上,以C为圆心,CA的长为半径作⊙C.
(1)求抛物线的对称轴、顶点坐标及解析式;
(2)将⊙C沿x轴翻折后,得到⊙C′,求证:直线AC是⊙C′的切线;
(3)若M点是⊙C的优弧
ABO
(不与0、A重合)上的一个动点,P是抛物线上的点,且∠POA=∠AM0,求满足条件的P点的坐标.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

附加题:已知二次函数y=ax2+bx+c的图象G和x轴有且只有一个交点A,与y轴的交点为B(0,4),且ac=b.
(1)求该二次函数的解析表达式;
(2)将一次函数y=-3x的图象作适当平移,使它经过点A,记所得的图象为L,图象L与G的另一个交点为C,求△ABC的面积.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

已知抛物线的顶点坐标是(4,2),与y轴的交点是(0,-6)
(1)求抛物线的解析式;
(2)求出抛物线与x轴的交点坐标;
(3)在左边的坐标系中画出这个函数的图象.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

已知二次函数y=x2-2mx+4m-8
(1)当x≤2时,函数值y随x的增大而减小,求m的取值范围.
(2)以抛物线y=x2-2mx+4m-8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN(M,N两点在拋物线上),请问:△AMN的面积是与m无关的定值吗?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.
(3)若抛物线y=x2-2mx+4m-8与x轴交点的横坐标均为整数,求整数m的最小值.

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