Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C＝90°，M为AB中点．将△ACM沿CM翻折，得到△DCM(如图2)，P为CD上一点，再将△DMP沿MP翻折，使得D与B重合(如图3)，给出下列四个命题：

①BP∥AC；②△PBC≌△PMC；③PC⊥BM；④∠BPC＝∠BMC．

其中真命题的个数是（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】B

【解析】

由翻折的性质得∠A=∠D=∠PBM，

∴BP∥AC，故①正确；

∵在Rt△ABC中，M为斜边AB中点，

∴AM=BM=CM,∴∠A=∠MCA，

又∵∠A=∠D，∠MCA=∠MCD，

∴∠A=∠MCA=∠D=∠MCD，

∴∠BMC=∠A+∠MCA=∠MCD+∠MCA=∠PCA，

∵BP∥AC，∴∠PCA=∠BPC，

∴∠BPC=∠BMC，故④正确；

若要使△PBC≌△PMC，则∠BCP=∠MCP，此时∠BCP=∠MCP=∠ACM=30°，则∠A=30°，题中无法确定∠A=30°，故②不一定成立；

若要使PC⊥BM，则∠BPC+∠PBA=90°，又∠PBA+∠ABC=90°，则∠BPC=∠ABC，又易知∠ABC=∠BCM，∠BPC=∠ACP，则∠ACP=∠BCM，则∠BCP=∠ACM=∠MCP，则∠A=30°，题中无法确定∠A=30°，故③不一定成立.

综上，①④正确.

故选B.