Question

3．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，O为AC的中点，过点O作直线．
（1）若直线与AD、BC分别相交于点E、F，如图①，则AE与CF有何数量关系？请说明理由．
（2）若直线与AD、CB的延长线分别相交于点E、F，如图②，则（1）中AE与CF的关系成立吗？
（3）若直线与DA、BC的延长线分别相交于点E，F，如图③，则（1）中AE与CF的关系还成立吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先判断出四边形ABCD是平行四边形，即可得出∠AEO=∠CFO，即可判断出△AOE≌△COF，即可得出结论；
（2）同（1）的方法即可得出结论；
（3）同（1）的方法即可得出结论．

解答 解：（1）AE=CF，
理由：∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEO=∠CFO，
∵O为AC的中点，
∴OA=OC，
在△AOE和△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠CFO}\\{∠AOE=∠COF}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF；

（2）（1）中AE与CF的关系仍然成立，理由：同（1）的方法；

（3）（1）中AE与CF的关系仍然成立，理由：同（1）的方法；

点评 此题是三角形的综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出∠AEO=∠CFO，是一道简单的中考常考题．