Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB边上且DE⊥BE．
（1）判断直线AC与△DBE外接圆的位置关系，并说明理由；
（2）若AD=6，AE=6，求BC的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）取BD的中点O，连接OE，证明∠OEB=∠CBE后可得OE⊥AC；
（2）设OD=OE=OB=x，利用勾股定理求出x的值，再证明△AOE∽△ABC，利用线段比求解．
解答：解：（1）直线AC与△DBE外接圆相切．
理由：∵DE⊥BE
∴BD为△DBE外接圆的直径
取BD的中点O（即△DBE外接圆的圆心），连接OE
∴OE=OB
∴∠OEB=∠OBE
∵BE平分∠ABC
∴∠OBE=∠CBE
∴∠OEB=∠CBE
∵∠CBE+∠CEB=90°
∴∠OEB+∠CEB=90°，即OE⊥AC
∴直线AC与△DBE外接圆相切；

（2）设OD=OE=OB=x
∵OE⊥AC
∴（x+6）²-（6）²=x²
∴x=3
∴AB=AD+OD+OB=12
∵OE⊥AC
∴△AOE∽△ABC
∴
即
∴BC=4．
点评：本题考查了切线的判定以及勾股定理的有关知识．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．