Question

如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，D是BC的中点，且它关于AC的对称点是D′，BD′=

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，求AB的长．

Answer 1

分析：连结CD′，DD′，D关于AC的对称点是D′，进而得到AC垂直平分DD′，CD=CD′，∠D′CD=90°，设CD′=x，则BC=2x，在Rt△BCD′中，利用勾股定理可得BC长，进而得到AB的长．

解答：解：连结CD′，DD′，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ACB=45°，
∵D关于AC的对称点是D′，
∴AC垂直平分DD′，
∴CD=CD′，∠D′CD=90°，
又∵D是BC的中点，
∴BC=2CD=2CD′，
设CD′=x，则BC=2x，
∴在Rt△BCD′中，
由勾股定理得：CD′²+BC²=BD′²，
x²+（2x）²=（

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）²，
解得：x=1，
∴CD′=1，CB=2，
∴AB=BC=2．

点评：此题考查了勾股定理，以及轴对称的基本性质，关键是掌握如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．