Question

20．阅读下列材料，解决提出的问题：
数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，点D为等边三角形ABC的边BC上一点，将线段AD绕点A顺时针旋转120°到AE，连接EC交AB于点F，判断EF与FC的数量关系．
小明从特殊位置开始进行探究：如图2，使点D与点B重合，这时发现点E、A、C在一条直线上，点F与点A重合，由此猜想EF与FC相等．
解决问题：小明发现的结论在图1所示的位置时成立吗？请说明理由．

Answer 1

分析 延长CA到G，并截取AG=AC，连接EG，由等边三角形的性质得出AB=AC，∠BAC=∠B=60°，得出AG=AB，由旋转的性质得：∠DAE=120°，AE=AD，证出∠EAG=∠DAB，由SAS证明△AEG≌△ADB，得出∠G=∠B=60°，因此∠G=∠BAC，由平行线的判定定理得出AB∥EG，由平行线分线段成比例定理得出比例式∴$\frac{EF}{FC}=\frac{AG}{AC}$=1，即可得出结论．

解答 解：小明发现的结论在图1所示的位置时成立，理由如下：
延长CA到G，并截取AG=AC，连接EG，如图1所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠B=60°，
∴AG=AB，
由旋转的性质得：∠DAE=120°，AE=AD，
∴∠EAG+∠DAC=180°-120°=60°，
∵∠DAB+∠DAC=60°，
∴∠EAG=∠DAB，
在△AEG和△ADB中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=AB}&{\;}\\{∠EAG=∠DAB}&{\;}\\{AE=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△ADB（SAS），
∴∠G=∠B=60°，
∴∠G=∠BAC，
∴AB∥EG，
∴$\frac{EF}{FC}=\frac{AG}{AC}$=1，
∴AF=FC．

点评 本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握等边三角形和旋转的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．