Question

7．如图边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与GH交于点P
（1）若AG=AE，证明：AF=AH；
（2）若矩形PFCH的面积，恰矩形AGPE面积的两倍，试确定∠HAF的大小；
（3）若矩形EPHD的面积为$\frac{1}{2}$，求Rt△GBF的周长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接AF、AH，由题意知四边形AGHD与四边形AEFB均为矩形，只要证明△ABF≌△ADH即可．
（2）结论：∠HAF=45°．设AG=a，BG=b，AE=x，ED=y．由$\left\{\begin{array}{l}{a+b=x+y}\\{2ax=by}\end{array}\right.$，推出（a+x）²=y²+b²，由y²+b²=FH²，推出a+x=FH，由AG=DH=a，AE=BF=x，推出DH+BF=FH，延长FB到M，使得BM=DH，连接AM，只要证明△ADH≌△ABM即可解决问题．
（3）如图3中，连接GF，设BG=x，BF=y，则FG=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，由（x-1）（y-1）=$\frac{1}{2}$，推出xy-x-y+1=$\frac{1}{2}$，推出xy-x-y=-$\frac{1}{2}$推出x²+y²=x²+y²+1+2xy-2x-2y，推出$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=1-x-y，得x+y+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=1，延长即可解决问题．

解答 解：（1）证明：如图1中，连接AF、AH，由题意知四边形AGHD与四边形AEFB均为矩形，

∴AG=DH，AE=BF，
∵AG=AE，
∴DH=BF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
在Rt△ADH与Rt△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠B=∠D}\\{BF=DH}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ADH，
∴AF=AH；

（2）结论：∠HAF=45°．
理由：设AG=a，BG=b，AE=x，ED=y．

则$\left\{\begin{array}{l}{a+b=x+y}\\{2ax=by}\end{array}\right.$，
∴a-x=y-b，两边平方得a²-2ax+x²=y²-2yb+b²，
∴得a²-2ax+x²=y²-4ax+b²，
∴（a+x）²=y²+b²，
∵y²+b²=FH²，
∴a+x=FH，
∵AG=DH=a，AE=BF=x，
∴DH+BF=FH，
延长FB到M，使得BM=DH，连接AM，
∵AD=AB，∠D=∠ABM，DH=BM，
∴△ADH≌△ABM，
∴AH=AM，∠DAH=∠BAM，
∴∠MAH=∠BAD=90°，
∵AF=AF，AM=AH，FM=FH，
∴△AFM≌△AFH，
∴∠FAH=∠FAM=45°

（3）如图3中，连接GF，设BG=x，BF=y，则FG=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，

∴（x-1）（y-1）=$\frac{1}{2}$，∴xy-x-y+1=$\frac{1}{2}$，∴xy-x-y=-$\frac{1}{2}$
∴x²+y²=x²+y²+1+2xy-2x-2y，
∴$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=1-x-y，
 得x+y+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=1，
∴Rt△GBF的周长=1．

点评 此题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会可以参数解决问题，属于中考压轴题．