Question

5．阅读材料：求值1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁴
解：设S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁴  ①，将等式两边同时乘以2得
2S=2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁴+2²⁰¹⁵   ②
将②-①得：S=2²⁰¹⁵-1，即S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁴=2²⁰¹⁵-1
请你仿照此法计算：（1）1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰
                （2）1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ（其中n为正整数）

Answer 1

分析 （1）设S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰，两边乘以2后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值；
（2）同理即可得到所求式子的值．

解答 解：（1）设S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰，
将等式两边同时乘以2得：2S=2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰+2¹¹，
将下式减去上式得：2S-S=2¹¹-1，即S=2¹¹-1，
则1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰=2¹¹-1；
（2）设S=1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ①，
两边同时乘以3得：3S=3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ+3ⁿ⁺¹②，
②-①得：3S-S=3ⁿ⁺¹-1，即S=$\frac{1}{2}$（3ⁿ⁺¹-1），
则1+3+3²+3³+3⁴+…+${3}^{n}=\frac{1}{2}$（3ⁿ⁺¹-1）．

点评 此题考查了有理数的乘方，弄清题中的技巧是解本题的关键．