Question

9．如图，抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）与x轴相交于两点E、B（E在B的左侧），与y轴相交于点C（0，2），点D的坐标为（-4，0），且AB=AE=2，∠ACD=90°．
（1）求点A、B、E的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点M，作MN⊥x轴，垂足为N，使得以M、N、O为顶点的三角形与△AOC相似．

Answer 1

分析 （1）先证明△AOC∽△COD，利用相似比计算出OA=1，再利用AB=AE=2得到OB=3，OE=1，于是得到A（1，0），B（3，0），E（-1，0）；
（2）设交点式y=a（x+1）（x-3），然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；
（3）根据二次函数图象上点的坐标特征，设点M的坐标为（x，-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+2）（0＜x＜3），则N（x，0），然后分类讨论：当△NOM∽△OCA，则$\frac{NO}{OC}$=$\frac{NM}{OA}$，即$\frac{x}{2}$=$\frac{-\frac{2}{3}{x}^{2}+\frac{4}{3}x+2}{1}$；当△NOM∽△OAC时，则$\frac{NO}{OA}$=$\frac{MN}{OC}$，即$\frac{x}{1}$=$\frac{-\frac{2}{3}{x}^{2}+\frac{4}{3}x+2}{2}$，再分别解一元二次方程求出x，即可得到M点的坐标．

解答 解：（1）∵C（0，2），D（-4，0），
∴OC=2，OD=4，
∵∠ACO+∠CAO=90°，∠ODC+∠CAO=90°，
∴∠ACO=∠CDO，
而∠AOC=∠COD=90°，
∴△AOC∽△COD，
∴$\frac{OC}{OD}$=$\frac{OA}{OC}$，即$\frac{2}{4}$=$\frac{OA}{2}$，解得OA=1，
∵AB=AE=2，
∴OB=OA+AB=3，OE=2-1=1，
∴A（1，0），B（3，0），E（-1，0）；
（2）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
把C（0，2）代入得a•1•（-3）=2，解得a=-$\frac{2}{3}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{2}{3}$（x+1）（x-3），即y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+2；
（3）存在．
设点M的坐标为（x，-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+2）（0＜x＜3），则N（x，0），
当△NOM∽△OCA，则$\frac{NO}{OC}$=$\frac{NM}{OA}$，即$\frac{x}{2}$=$\frac{-\frac{2}{3}{x}^{2}+\frac{4}{3}x+2}{1}$，
即-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+2=$\frac{1}{2}$x，
整理得4x²-5x-12=0，解得x₁=$\frac{5+\sqrt{217}}{8}$，x₂=$\frac{5-\sqrt{217}}{8}$（舍去），此时M点的坐标为（$\frac{5+\sqrt{217}}{8}$，$\frac{5+\sqrt{217}}{16}$）；
当△NOM∽△OAC时，则$\frac{NO}{OA}$=$\frac{MN}{OC}$，即$\frac{x}{1}$=$\frac{-\frac{2}{3}{x}^{2}+\frac{4}{3}x+2}{2}$，
即-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+2=2x，
整理得x²+x-3=0，解得x₁=$\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$，x₂=$\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$（舍去），此时M点的坐标为（$\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$，-1+$\sqrt{13}$），
综上所述，当M点的坐标为（$\frac{5+\sqrt{217}}{8}$，$\frac{5+\sqrt{217}}{16}$）或（$\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$，-1+$\sqrt{13}$）时，以M、N、O为顶点的三角形与△AOC相似．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求二次函数的解析式；能利用相似三角形的知识求线段的长和建立线段之间的关系；理解坐标与图形性质；会运用公式法解一元二次方程．