Question

19．已知AB是半⊙O的直径，点C为半圆弧的中点，点D是弧$\widehat{AC}$上一点，连接BD交AC于E点．
（1）如图1，若点D是弧$\widehat{AC}$的中点，连接AD，求证：BE=2AD；
（2）如图2，若点E是AC的中点，作CF⊥BD于F，连接AF，求tan∠CAF的值．

Answer 1

分析 （1）延长AD、BC交于点F，根据全等三角形的性质得到BE=AF，由AB是半⊙O的直径，得到BD⊥AF，根据等腰三角形的性质得到AD=DF，于是得到结论；
（2）如图2，由E为AC的中点，得到BC=AC=2CE，根据余角的性质得到∠ECF=∠CBF，根据相似三角形的性质得到$\frac{CF}{BC}$=$\frac{1}{2}$，设EF=1，则CF=2，BF=4，AE=CE=$\sqrt{5}$，BC=2$\sqrt{5}$，连接AD，得到AD=CF=2，求得根据三角形的面积得到FG=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，CG=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，于是得到结论．

解答 （1）证明：如图1，延长AD、BC交于点F，在△ACF与△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAF=∠CBE}\\{∠ACF=∠BCE=90°}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BCE，
∴BE=AF，
∵AB是半⊙O的直径，
∴BD⊥AF，
∵∠ABD=∠DBC，
∴AB=BF，
∴AD=DF，
∴BE=AF=2AD；
（2）解：如图2，∵E为AC的中点，
∴BC=AC=2CE，
∵CF⊥BE，
∴∠CFE=∠CFB=∠ACB=90°，
∴∠ECF+∠CEF=∠CEF+∠CBE=90°，
∴∠ECF=∠CBF，
∴△CEF∽△CBF，
∴$\frac{EF}{CF}$=$\frac{CE}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CF}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
设EF=1，则CF=2，BF=4，AE=CE=$\sqrt{5}$，BC=2$\sqrt{5}$，
连接AD，
则AD⊥BD，△ADE≌△CFE，
∴AD=CF=2，
方法1：∵S_△AFC=S_△ABC-S_△BCF-S△ABF
∴S_△AFC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×2$\sqrt{5}$-$\frac{1}{2}×$4×2-$\frac{1}{2}×$4×2=2，
过点F作FG⊥AC于G，
∴S_△AFC=$\frac{1}{2}×$2$\sqrt{5}$×FG=2，
∴FG=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，CG=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴tan∠CAF=$\frac{FG}{AG}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．