Question

10．在平面直角坐标系中，我们把直线y=ax+c称为抛物线y=ax²+bx+c的生成线，抛物线与它生成线的交点称为抛物线的生成点，例如：抛物线y=x²-2的生成线是直线y=x-2，生成点是：（0，-2）和（1，-1）．
（1）若抛物线y=mx²-5x-2的生成线是直线y=-3x-n，求m与n的值．（直接写出答案即可）
（2）已知：抛物线y=x²-3x+3的图象如图所示，若它的一个生成点是（m，m+3）．
①求m的值；
②若抛物线y=x²+px+q的图象是由抛物线y=x²-3x+3的图象平移所得（不重合），且同时满足以下两个条件：
一是这两个抛物线具有相同的生成线；
二是若抛物线y=x²-3x+3的生成点为点A，点B，y=x²+px+q的生成点为点C，点D，则AB=CD．
求p与q的值．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的生成线的意义，即可求出m与n的值；
（2）①根据生成点的意义，将（m，m+3）代入y=x²-3x+3，得出m+3=m²-3m+3，解方程即可求出m的值；
②首先根据抛物线y=x²+px+q与y=x²-3x+3具有相同的生成线，得出q=3．再求出抛物线y=x²-3x+3与它生成线y=x+3的生成点为（0，3），（4，7），利用两点间的距离公式得出AB²=（4-0）²+（7-3）²=32，同理求出抛物线y=x²+px+3与它生成线y=x+3的生成点为（0，3），（1-p，4-p），得出CD²=（1-p-0）²+（4-p-3）²=2（1-p）²，利用AB=CD，列出关于p的方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=mx²-5x-2的生成线是直线y=-3x-n，
∴m=-3，-n=-2，
∴n=2；

（2）①∵抛物线y=x²-3x+3的一个生成点是（m，m+3），
∴m+3=m²-3m+3，
整理，得m²-4m=0，
解得m=0或4；

②∵抛物线y=x²+px+q的图象是由抛物线y=x²-3x+3的图象平移所得（不重合），且这两个抛物线具有相同的生成线，
∴q=3．
∵抛物线y=x²-3x+3与它生成线y=x+3的生成点为（0，3），（4，7），
∴AB²=（4-0）²+（7-3）²=32，
∵抛物线y=x²+px+3与它生成线y=x+3的生成点为（0，3），（1-p，4-p），
∴CD²=（1-p-0）²+（4-p-3）²=2（1-p）²，
∵AB=CD，
∴2（1-p）²=32，
∴p=5或-3，
∵抛物线y=x²+px+3与抛物线y=x²-3x+3不重合，
∴p=-3舍去，
∴p=5．

点评 本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象的平移，两点间的距离公式，二次函数与一次函数的交点等知识．理解抛物线的生成线与生成点是解题的关键．