Question

9．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，连接CD，CD=BD，tan∠CDB=$\frac{24}{7}$，在BC上取一点F，使BF=$\frac{1}{2}$AB，连接DF，过点D作DE⊥DF交AC于点E，且AE=1，则BC=$\frac{12}{5}$．

Answer 1

分析 由点D是AB的中点且CD=BD、BF=$\frac{1}{2}$AB知AD=BD=CD=BF，即∠ACB=90°，作CH⊥BD，设CH=24x，依次可得DH=7x、CD=AD=BD=BF=25x、BH=18x、BC=30x、AC=40x，作DM⊥BC、DG⊥AC，易证△DEG∽△DFM得$\frac{EG}{FM}$=$\frac{DG}{DM}$=$\frac{3}{4}$，由FM=10x可得EG=$\frac{15}{2}$x，继而知AG=AE+EG=1+$\frac{15}{2}$x，根据$\frac{AG}{AD}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{4}{5}$可求得x的值，从而得出答案．

解答 解：∵点D是AB的中点，且CD=BD、BF=$\frac{1}{2}$AB，
∴AD=BD=CD=BF，
∴∠ACB=90°，
如图，过点C作CH⊥BD于点H，

∵tan∠CDB=$\frac{CH}{DH}$=$\frac{24}{7}$，
∴设CH=24x，则DH=7x，
∴CD=AD=BD=BF=25x，BH=18x，
∴BC=30x，
∴AC=40x，
过点D作DM⊥BC于点M，作DG⊥AC于点G，
∴∠DGE=∠DMF=∠GDM=90°，
∴∠GDF+∠FDM=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠EDG+∠GDF=90°，
∴∠EDG=∠FDM，
∴△DEG∽△DFM，
∴$\frac{EG}{FM}$=$\frac{DG}{DM}$=$\frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{2}AC}$=$\frac{15x}{20x}$=$\frac{3}{4}$，
∵FM=BF-BM=25x-15x=10x，
∴EG=$\frac{15}{2}$x，
∴AG=AE+EG=1+$\frac{15}{2}$x，
∵$\frac{AG}{AD}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{\frac{15}{2}x+1}{25x}$=$\frac{4}{5}$，解得：x=$\frac{2}{25}$，
∴BC=30x=$\frac{12}{5}$，
故答案为：$\frac{12}{5}$．

点评 本题主要考查解直角三角形、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理等知识点，通过角的正切值构建直角三角形，设未知数表示出各边长度是解题的关键．