Question

3．已知：△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点．
（1）如图1，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：BE+CF=$\frac{1}{2}$AC；
（2）如图2，点D是BC的中点，∠EDF=120°，AM⊥AB交BC延长线于点M，过点M作MN⊥AF于点N，且DM=6，AE：CF=1：3．求线段NF的长．

Answer 1

分析 （1）首先根据△ABC是等边三角形，可得∠B=∠C=60°，然后根据DE⊥AB，DF⊥AC，判断出∠EDB=∠FDC=30°，即可判断出BE=$\frac{1}{2}$BD，CF=$\frac{1}{2}$CD，所以BE+CF=$\frac{1}{2}BC$=$\frac{1}{2}$AC，据此判断即可；
（2）先求得等边三角形的边长，然后根据△AEM∽△CFD对应边成比例求得AM=$\frac{2}{3}$，进而求得MC=$\frac{10}{3}$，作AF∥DE，根据平行线分线段成比例定理求得AE=1，从而求得CF=3，在RT△CMN中，CN=$\frac{1}{2}$CM=2，即可求得NF=CF-CN=1．

解答 （1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠EDB=∠FDC=90°-60°=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$BD，CF=$\frac{1}{2}$CD，
∴BE+CF=$\frac{1}{2}（BD+CD）$=$\frac{1}{2}BC$=$\frac{1}{2}$AC，
∴BE+CF=$\frac{1}{2}$AC．
（2）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵AM⊥AB，
∴∠AMB=30°，
∴BM=2AB，
∵AB=BC，
∴CM=AB=BC，
∵点D是BC的中点，DM=6，
∴BD=8，
∴AB=BC=AC=CM=4，DC=2，
∵∠EAM=∠EDF=120°，∠AME=∠DMF，
∴∠F=∠E，
∵∠EAM=∠DGF=120°，
∴△AEM∽△CFD，
∴$\frac{AM}{DC}$=$\frac{AE}{CF}$，
∵DC=2，AE：CF=1：3．
∴AM=$\frac{2}{3}$，
∵AC=4，
∴MC=4-$\frac{2}{3}$=$\frac{10}{3}$，
作AF∥DE，
∴$\frac{FD}{DC}$=$\frac{AM}{MC}$，
即$\frac{FD}{2}$=$\frac{\frac{2}{3}}{\frac{10}{3}}$=$\frac{1}{5}$，
∴FD=$\frac{2}{5}$，
∴BF=2-$\frac{2}{5}$=$\frac{8}{5}$，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{FD}{BF}$，
即$\frac{AE}{4}$=$\frac{\frac{2}{5}}{\frac{8}{5}}$=$\frac{1}{4}$，
∴AE=1，
∴CF=3，
∵∠MCN=60°，MN⊥AF，
∴CN=$\frac{1}{2}$CM=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴NF=CF-CN=3-2=1．

点评 此题考查了等边三角形的性质，三角形相似的判定和性质，平行线分线段成比例定理，30°角的直角三角形的性质等，熟练掌握性质定理是解题的关键．