Question

14．（1）如图1，菱形ABCD中，O是对角线AC上一点，连接OB，OD，求证：OB=OD．
（2）如图2，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，求∠DBA的度数．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性质可得到AD=AB，∠CAB=∠CAD，结合公共边可证得△ABO≌△ADO，根据全等三角形对应边相等即可得出OB=OD；
（2）由已知条件和等腰三角形的性质可得∠A=∠C=35°，再由线段垂直平分线的性质可求出∠DBA=∠A，问题得解．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠CAB=∠CAD，
在△ABO和△ADO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠OAB=∠OAD}\\{OA=OA}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△ADO，
∴OB=OD；

（2）解：∵在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，
∴∠A=∠C=35°，
∵AB的垂直平分线DE交AC于点D，
∴AD=BD，
∴∠DBA=∠A=35°

点评 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，熟记性质与定理是解题关键．