Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，抛物线的顶点为P，过点B作BC的垂线交抛物线于点D．

（1）若点P的坐标为（－4，－1），点C的坐标为（0，3），求抛物线的表达式；

（2）在（1）的条件下，求点A到直线BD的距离；

（3）连接DC，若点P的坐标为（－，－），DC∥x轴，则在x轴上方的抛物线上是否存在点M，使∠AMB＝∠BDC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x 2＋2x＋3；（2）点A到直线BD的距离为；（3）存在，M1（，4），M2（，4）

【解析】

（1）利用待定系数法将C（0，3）代入即可解决问题；

（2）先求出A、B、C三点坐标。继而求出AB、BC线段长，再作AF⊥BD于F，可得∠ABF＝∠BCO，根据sin∠ABF＝sin∠BCO即可求解；

（3）作DH⊥x轴于H，设A（x1，0），B（x2，0），由△DBH∽△BCO可得＝ ，联系根与系数关系可得c 2＝x1x2，c＝ ，继而又待定系数法求出解析式为y＝ x 2＋ x＋2，可得ABC三点坐标，再由经过A，B，M三点的圆的圆心为Q，求出Q坐标，继而又

QM=QA即可求解．

解：（1）设抛物线的解析式为y＝a( x＋4 )2－1，

把C（0，3）代入，得3＝a( 0＋4 )2－1，a＝ ，

∴抛物线的解析式为y＝ ( x＋4 )2－1，即y＝x 2＋2x＋3，

（2）令 x 2＋2x＋3＝0，解得x1＝－2，x2＝－6，

∴A（－6，0），B（－2，0），

∴OA＝6，OB＝2，AB＝4，

令x＝0，得y＝3，∴C（0，3），

∴OC＝3，

∴BC＝＝＝，

作AF⊥BD于F，

∵DB⊥BC，∴∠DBC＝90°，∴∠ABF＋∠CBO＝90°

∵∠BCO＋∠CBO＝90°，

∴∠ABF＝∠BCO

∴＝sin∠ABF＝sin∠BCO＝ ＝

∴AF＝ AB＝＝，即点A到直线BD的距离为．

（3）作DH⊥x轴于H

设A（x1，0），B（x2，0）

由抛物线的对称性可知AH＝BO

∴BH＝OH－OB＝OH－AH＝OA＝－x1

∵DC∥x轴，∴DH＝CO＝c

∵DB⊥BC，∴△DBH∽△BCO

∴＝ ，∴＝ ，∴c 2＝x1x2

令ax 2＋bx＋c＝0，则x1x2＝，∴c 2＝ ，∴c＝

由P（－ ，－），可设抛物线的解析式为y＝a( x＋ )2－

令x＝0，得c＝ a－，

∴a－，

解得a＝－（舍去）或a＝

∴抛物线的解析式为y＝ ( x＋ )2－，即y＝ x 2＋ x＋2

易得A（－4，0），B（－1，0），C（0，2）

AB＝3，OB＝1，OC＝2

设经过A，B，M三点的圆的圆心为Q，连接QA，QB，QM

作QN⊥AB于N

则AN＝BN＝ ，QA＝QB＝QM，∠AQN＝∠AMB＝∠BDC

∵DC∥x轴，∴∠BDC＝∠ABD＝∠BCO

∴∠AQN＝∠BCO，

∴＝tan∠AQN＝tan∠BCO＝ ＝

∴QN＝2AN＝AB＝3，∴Q（－ ，3），QA 2＝

设M（m，y），其中y＝ m 2＋ m＋2

则QM 2＝( m＋ )2＋( y－3 )2

∴( m＋ )2＋( y－3 )2＝

m 2＋5m＋4＋y 2－6y＝0，2y＋y 2－6y＝0

y 2－4y＝0，解得y＝0（舍去）或y＝4

令 x 2＋ x＋2＝4，解得x＝

∴M1（，4），M2（，4）