(2009•花都区一模)如图.⊙O的直径EF=cm.Rt△ABC中.∠ACB=90°.∠BAC=30°.AB=cm．E.F.A.B四点共线．Rt△ABC以1cm/s的速度沿EF所在直线由右向左匀速运动.设运动时间为t(s).当t=0s时.点B与点F重合．(1)当t为何值时.Rt△ABC的直角边与⊙O相切?(2)当Rt△ABC的直角边� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

（2009•花都区一模）如图，⊙O的直径EF=

cm，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=

cm．E、F、A、B四点共线．Rt△ABC以1cm/s的速度沿EF所在直线由右向左匀速运动，设运动时间为t（s），当t=0s时，点B与点F重合．
（1）当t为何值时，Rt△ABC的直角边与⊙O相切？
（2）当Rt△ABC的直角边与⊙O相切时，请求出重叠部分的面积（精确到0.01）．

【答案】分析：（1）分两种情况，当点B运动到圆心O时，AC边与⊙O相切；当BC边与⊙O相切时，分别求得对应的t值．
（2）当点B运动到圆心O时，AC边与⊙O相切，重叠的部分为扇形，圆心角为60度，
故用扇形的面积公式可求得重叠的部分的面积；
当BC边与⊙O相切时，⊙O与Rt△ABC的重叠部分为扇形OMGE加上△OAM．
解答：解：
（1）∵∠BAC=30°，AB=

，
∴BC=

又∵⊙O的直径EF=

，即半径为

，
∠ACB=90°，
∴当点B运动到圆心O时，AC边与⊙O相切．（如图1所示）（1分）

此时运动距离为FO=

，
∴t=

s．（2分）
当BC边与⊙O相切时（如图2所示），

设切点为G．连接OG，则OG⊥BC．（3分）
由已知，∠BOG=∠BAC=30°，OG=

，
∴BO=2．（4分）
又FO=

，
∴BF=

．（此步亦可利用相似求解，请参照给分）
∴此时

s．（5分）
由上所述，当

秒时，Rt△ABC的直角边与⊙O相切．（6分）

（2）由图1，此时⊙O与Rt△ABC的重叠部分为扇形COF．（7分）
由已知，∠COF=60°，∴

．（8分）
由图2，设AC与⊙O交于点M，
此时⊙O与Rt△ABC的重叠部分为扇形OMGE加上△OAM．（9分）
过点M作MN⊥OG于N，则MN=GC．
由（1）可知BG=1
则MN=GC=

．（10分）
∴

，
∴∠MON=25°，即∠MOE=55°．（11分）
∴

．（12分）
又∵OM=

，
∴点M到AB的距离h=OM•sin∠MOE≈1.419，（13分）
∴S_△AOM=

•OA•h≈1.229cm²
此时⊙O与Rt△ABC的重叠部分的面积为S_扇形OMEF+S_△AOM≈2.67cm²．（14分）
点评：本题利用了相切的概念，扇形的面积公式，三角形的面积公式，锐角三角函数的概念，直角三角形的性质求解．

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