Question

10．已知正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），则

（1）线段BM、DN和MN之间的数量关系是BM+DN=MN；
（2）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；
（3）当∠MAN绕点A旋转到（如图3）的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

Answer 1

分析 （1）连接AC，交MN于点G，则可知AC垂直平分MN，结合∠MAN=45°，可证明△ABM≌△AGM，可得到BM=MG，同理可得到NG=DN，可得出结论；
（2）在MB的延长线上，截取BE=DN，连接AE，则可证明△ABE≌△ADN，可得到AE=AN，进一步可证明△AEM≌△ANM，可得结论BM+DN=MN；
（3）在DC上截取DF=BM，连接AF，可先证明△ABM≌△ADF，进一步可证明△MAN≌△FAN，可得到MN=NF，从而可得到DN-BM=MN．

解答 解：
（1）如图1，连接AC，交MN于点G，

∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=CD，且BM=DN，
∴CM=CN，且AC平分∠BCD，
∴AC⊥MN，且MG=GN，
∴∠MAG=∠NAG，
∵∠BAC=∠MAN=45°，即∠BAM+∠GAM=∠GAM+∠GAN，
∴∠BAM=∠GAN=∠GAM，
在△ABM和△AGM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠AGM=90°}\\{∠BAM=∠GAM}\\{AM=AM}\end{array}\right.$
∴△ABM≌△AGM（AAS），
∴BM=MG，同理可得GN=DN，
∴BM+DN=MG+GN=MN，
故答案为：BM+DN=MN；
（2）猜想：BM+DN=MN，
证明如下：
如图2，在MB的延长线上，截取BE=DN，连接AE，

在△ABE和△ADN中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABE=∠D}\\{BE=DN}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△ADN（SAS），
∴AE=AN，∠EAB=∠NAD，
∵∠BAD=90°，∠MAN=45°，
∴∠BAM+∠DAN=45°，
∴∠EAB+∠BAM=45°，
∴∠EAM=∠NAM，
在△AEM和△ANM中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AN}\\{∠EAM=∠NAM}\\{AM=AM}\end{array}\right.$
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME=MN，
又ME=BE+BM=BM+DN，
∴BM+DN=MN；
（3）DN-BM=MN．
证明如下：
如图3，在DC上截取DF=BM，连接AF，

△ABM和△ADF中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABM=∠D}\\{BM=DF}\end{array}\right.$
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM=AF，∠BAM=∠DAF，
∴∠BAM+∠BAF=∠BAF+∠DAF=90°，即MAF=∠BAD=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠MAN=∠FAN=45°，
在△MAN和△FAN中
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AF}\\{∠MAN=∠FAN}\\{AN=AN}\end{array}\right.$
∴△MAN≌△FAN（SAS），
∴MN=NF，
∴MN=DN-DF=DN-BM，
∴DN-BM=MN．

点评 本题为四边形的综合应用，涉及知识点有正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定和性质等．在（1）中证得AM=AN是解题的关键，在（2）、（3）中构造三角形全等是解题的关键．本题考查知识点不多，但三角形全等的构造难度较大．