Question

已知抛物线y＝(1－m)x²＋4x－3开口向下，与x轴交于A(x₁，0)和B(x₂，0)两点，其中x₁＜x₂．

(1)求m的取值范围；

(2)若＋＝10，求抛物线的解析式，并在给出的直角坐标系中画出这条抛物线；

(3)设这条抛物线的顶点为C，延长CA交y轴于点D．在y轴上是否存在点P，使以P、O、B为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由题意得，，解得m的取值范围是1＜m＜; 　　(2)由题意得，x1＋x2＝，x1·x2＝∵＋＝10，即(x1＋x2)2－2x1x2＝10，∴()2－2×＝10．解得m1＝2，m2＝－．经检验m1＝2，m2＝－是分式方程的解．又1＜m＜，∴m＝2．∴所求抛物线的解析式为y＝－x2＋4x－3图象略; 　　(3)用待定系数法、图象法、全等三角形等方法求出OD＝1．由计算可得，BC＝AC＝AD＝，DB＝，DC＝2．∵BC2＋DC2＝BD2，∴∠BCD＝．(或由A、B、C三点坐标得△ABC为等腰直角三角形)若Rt△POB与Rt△BCD相似，则＝或＝．解得PO＝或PO＝6．∴点P的坐标为(0，6)、(0，－6)、(0，)、(0，－)