Question

19．已知函数y=-x²+（m-1）x+m（m为常数）．
（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是D．
A.0      B.1       C.2       D.1或2
（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）²的图象上．
（3）当-2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．

Answer 1

分析 （1）表示出根的判别式，判断其正负即可得到结果；
（2）将二次函数解析式配方变形后，判断其顶点坐标是否在已知函数图象即可；
（3）根据m的范围确定出顶点纵坐标范围即可．

解答 解：（1）∵函数y=-x²+（m-1）x+m（m为常数），
∴△=（m-1）²+4m=（m+1）²≥0，
则该函数图象与x轴的公共点的个数是1或2，
故选D；
（2）y=-x²+（m-1）x+m=-（x-$\frac{m-1}{2}$）²+$\frac{（m+1）^{2}}{4}$，
把x=$\frac{m-1}{2}$代入y=（x+1）²得：y=（$\frac{m-1}{2}$+1）²=$\frac{（m+1）^{2}}{4}$，
则不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）²的图象上；
（3）设函数z=$\frac{（m+1）^{2}}{4}$，
当m=-1时，z有最小值为0；
当m＜-1时，z随m的增大而减小；
当m＞-1时，z随m的增大而增大，
当m=-2时，z=$\frac{1}{4}$；当m=3时，z=4，
则当-2≤m≤3时，该函数图象的顶点坐标的取值范围是0≤z≤4．

点评 此题考查了抛物线与x轴的交点，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．