Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点．

（1）则点A，B，C的坐标分别是A（ ，　 ），B（ ，　 ），C（　 ，　 ）；
（2）设经过A，B两点的抛物线解析式为y=（x﹣5）2+k，它的顶点为E，求证：直线EA与⊙M相切；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）2；0；8；0；0；4
（2）

证明：把点A（2，0）代入抛物线y=（x﹣5）2+k，

得：k=﹣，

∴E（5，﹣），

∴DE=，

∴ME=MD+DE=4+=，EA2=32+（）2=，

∵MA2+EA2=52+=，ME2=，

∴MA2+EA2=ME2，

∴∠MAE=90°，

即EA⊥MA，

∴EA与⊙M相切；

（3）

解：存在；点P坐标为（5，4），或（5，），或（5，4+）；理由如下：

由勾股定理得：BC=，

分三种情况：

①当PB=PC时，点P在BC的垂直平分线上，点P与M重合，

∴P（5，4）；

②当BP=BC=4时，如图2所示：

∵PD===，

∴P（5，）；

③当PC=BC=4时，连接MC，如图3所示：

则∠PMC=90°，

根据勾股定理得：PM=，

∴PD=4+，

∴P（5，4+）；

综上所述：存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形，

点P的坐标为（5，4），或（5，），或（5，4+）．

【解析】（1）连接MC、MA，由切线的性质得出MC⊥y轴，MC=MA=5，OC=MD=4，得出点C的坐标；由MD⊥AB，得出DA=DB，∠MDA=90°，由勾股定理求出AD，得出BD、OA、OB，即可得出点A、B的坐标；
（2）把点A（2，0）代入抛物线得出k=﹣，得出顶点E的坐标，得出DE、ME，由勾股定理得出EA2=，证出MA2+EA2=ME2 ， 由勾股定理的逆定理证出∠MAE=90°，即可得出EA与⊙M相切；
（3）由勾股定理求出BC，分三种情况：①当PB=PC时，点P在BC的垂直平分线上，点P与M重合，容易得出点P的坐标；
②当BP=BC=4时，由勾股定理求出PD，即可得出点P的坐标；
③当PC=BC=4时，由勾股定理求出PM，得出PD，即可得出点P的坐标．