Question

观察下列等式

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，
将以上三个等式两边分别相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

．
（1）猜想并写出：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2007×2008

=

2007

2008

；
②

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

n

n+1

．

Answer 1

分析：（1）先根据题中所给出的列子进行猜想，写出猜想结果即可；
（2）根据（1）中的猜想计算出结果．

解答：解：（1）∵

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，
∴

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；

（2）①

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2007×2008

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2007

-

1

2008

=1-

1

2008

=

2007

2008

；

②

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
故答案为：

1

n

-

1

n+1

；

2007

2008

；

n

n+1

．

点评：本题考查的是分式的加减，根据题意找出规律是解答此题的关键．