Question

1．如图，已知抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；
（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）分别令y=0，x=0，即可解决问题．
（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，分E点为抛物线上的普通点和顶点2种情况讨论，即可求出平行四边形的面积．
（3）分A、C、M为顶点三种情形讨论，分别求解即可解决问题．

解答 解：（1）令y=0得-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x+2=0，
∴x²+2x-8=0，
x=-4或2，
∴点A坐标（2，0），点B坐标（-4，0），
令x=0，得y=2，∴点C坐标（0，2）．
（2）由图象①AB为平行四边形的边时，
∵AB=EF=6，对称轴x=-1，
∴点E的横坐标为-7或5，
∴点E坐标（-7，-$\frac{27}{4}$）或（5，-$\frac{27}{4}$），此时点F（-1，-$\frac{27}{4}$），
∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=6×$\frac{27}{4}$=$\frac{81}{2}$．
②当点E在抛物线顶点时，点E（-1，$\frac{9}{4}$），设对称轴与x轴交点为M，令EM与FM相等，则四边形AEBF是菱形，此时以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=$\frac{1}{2}$×6×$\frac{9}{2}$=$\frac{27}{2}$．
（3）如图所示，①当C为等腰三角形的顶角的顶点时，CM₁=CA，CM₂=CA，作M₁N⊥OC于N，
在RT△CM₁N中，CN=$\sqrt{C{{M}_{1}}^{2}-{M}_{1}{N}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴点M₁坐标（-1，2+$\sqrt{7}$），点M₂坐标（-1，2-$\sqrt{7}$）．
②当M₃为等腰三角形的顶角的顶点时，∵直线AC解析式为y=-x+2，
∴线段AC的垂直平分线为y=x与对称轴的交点为M₃（-1．-1），
∴点M₃坐标为（-1，-1）．
③当点A为等腰三角形的顶角的顶点的三角形不存在．
综上所述点M坐标为（-1，-1）或（-1，2+$\sqrt{7}$）或（-1，2-$\sqrt{7}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的求法，学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．