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15.已知:平行四边形ABCD中,AB=2BC,延长CB到E,BE=BC,延长BC到F,CF=BC,AF、DE相交于G,求证:AF⊥DE.

分析 易证△ABF是等腰三角形,根据等边对等角以及平行线的性质可以证得AF是∠BAD的平分线、DE是∠ADC的平分线,然后根据平行线的性质即可证得.

解答 证明:∵BC=CF,即BF=2BC,
又∵AB=2BC,
∴AB=BF,
∴∠BAF=∠F,
又∵平行四边形ABCD中,AD∥BC,AB∥CD,
∴∠DAF=∠F,
∴∠BAF=∠DAF=$\frac{1}{2}$∠BAD,
同理,∠ADE=∠EDC=$\frac{1}{2}$∠ADC,
∵AB∥CD,
∴∠BAD+∠ADC=180°,
∴∠GAD+∠GDA=90°,
∴∠AGD=90°,
∴AF⊥DE.

点评 本题考查了平行四边形的性质,以及等腰三角形的性质:等边对等角,证明AF是∠BAD的平分线、DE是∠ADC的平分线是关键.

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