Question

15．已知：平行四边形ABCD中，AB=2BC，延长CB到E，BE=BC，延长BC到F，CF=BC，AF、DE相交于G，求证：AF⊥DE．

Answer 1

分析 易证△ABF是等腰三角形，根据等边对等角以及平行线的性质可以证得AF是∠BAD的平分线、DE是∠ADC的平分线，然后根据平行线的性质即可证得．

解答 证明：∵BC=CF，即BF=2BC，
又∵AB=2BC，
∴AB=BF，
∴∠BAF=∠F，
又∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF=∠F，
∴∠BAF=∠DAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
同理，∠ADE=∠EDC=$\frac{1}{2}$∠ADC，
∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∴∠GAD+∠GDA=90°，
∴∠AGD=90°，
∴AF⊥DE．

点评 本题考查了平行四边形的性质，以及等腰三角形的性质：等边对等角，证明AF是∠BAD的平分线、DE是∠ADC的平分线是关键．