Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，分别以AB、AC为边向形外作两个等腰直角三角形ABD和ACE，使∠BAD=∠CAE=90°．
（1）求∠DBC的度数；
（2）求证：BD=CE；
（3）若连接BE、CD，试判断BE、CD是否相等，并对结论给予证明．

Answer 1

分析：（1）根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB，进而得出∠DBC的度数；
（2）利用等腰直角三角形的性质得出AB=AD=AC=AE，进而得出△ADB≌△ACE，即可得出答案；
（3）由（2）得，AB=AD=AC=AE，∠EAC=∠DAB=90°，得出∠EAB=∠DAC，进而利用全等三角形的判定得出△DAC≌△BAE，进而得出答案．

解答：（1）解：∵AB=AC，∠BAC=30°，
∴∠ABC=∠ACB=

180°-30°

2

=75°，
∵以AB、AC为边向形外作两个等腰直角三角形ABD和ACE，
∴∠ABD=∠ACE=45°，
∴∠DBC=75°+45°=120°；

（2）证明：∵△ADB和△ACE都是等腰直角三角形，且AB=AC，
∴AB=AD=AC=AE，
在△ADB和△ACE中，

AD=AC ∠EAC=∠DAB AB=AE

，
∴△ADB≌△ACE（SAS），
∴BD=EC；

（3）BE=CD，
理由：由（2）得，AB=AD=AC=AE，∠EAC=∠DAB=90°，
∴∠EAB=∠DAC，
∴在△DAC和△BAE中，

AD=AB ∠DAC=∠BAE AC=AE

，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴BE=CD．

点评：此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，根据已知得出∠ABC=∠ACB和∠EAB=∠DAC是解题关键．