Question

聪聪同学从小就喜欢动手动脑，请看他的研究：
①以AB为直径画⊙O；
②在⊙O上任取一点C；
③作∠ACB的角平分线与AB相交于点D；
④作CD的中垂线L与AC、BC分别相交于E、F；
⑤连接DE、DF．
（1）如图，他发现：①∠ADE与∠BDF互余；②四边形CEDF为正方形；③四边形CEDF的面积为AE•BF；④四边形CEDF的面积为常数．
你认为其中正确的是

 

；（请填上所有正确答案的序号）
（2）从你认为是正确的结论中选一个加以证明．

Answer 1

分析：由这位同学的作法知：EF垂直平分CD，则CF=DF，DE=CE；△CEF中，CD平分∠ECF，且CD⊥EF，根据等腰三角形三线合一的性质即可得知△CEF是等腰直角三角形，则CE=CF=DE=DF，即四边形CEDF是正方形，根据这个结论即可判断出①②是否正确；
在证结论③是否正确时，可通过证△BFD∽△AED，根据相似三角形得到的成比例线段即可判断出DE•DF是否与AE•BF相等；由于给出的条件不足，无法证明④的结论一定成立．

解答：解：（1）①②③；（3分）

（2）证明：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°；
∵EF垂直平分CD，
∴CE=DE，DF=CF；
△CEF中，CD平分∠ACB，CD⊥EF；易知△CEF是等腰直角三角形；
则：CE=CF；
∴CE=DE=DF=CF，故四边形CEDF是正方形；（故②正确）
∴∠EDF=90°，即∠ADE与∠FDB互余；（故①正确）
由②易知：DF⊥BC，即DF∥AC；
∴∠FDB=∠A；
又∵∠DEA=∠BFD=90°；
∴△AED∽△DFB；
∴

DF

AE

=

BF

DE

，即DE•DF=AE•BF；
∴S_{正方形CEDF}=DE•DF=AE•BF．（故③正确）

点评：此题主要考查了圆周角定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、正方形的判定、相似三角形的判定和性质，综合性较强，难度适中．